Öppet eller slutet intervall?

Om den är både och så är den varken eller, kolla definitionen av en sluten/öppen mängd!

Qetsiyah skrev:

Om den är både och så är den varken eller, kolla definitionen av en sluten/öppen mängd!

Nej, varken eller betyder att den inte är öppen och samtidigt inte sluten.

För att svara på trådskaparens fråga behöver jag veta vilken definition av öppen och sluten som används i din kurs. I R^n är de enda öppna och slutna mängderna R^n och tomma mängden.

Vadå? Om området är bitvis öppet/slutet (alltså "både och") så är mängden som helhet varken öppen eller sluten eftersom det kräver att alla randpunkter är öppna/slutna. Så menade jag.

I alla fall är svaret till nilsson99 att det krävs att alla randpunker är samma.

Det här är mycket troligt en flervariabelanalysfråga.

Vad för avancerade andra definitioner finns det? Berätta!

Nä, jag skapar en egen tråd nu.

Qetsiyah skrev:

Vadå? Om området är bitvis öppet/slutet (alltså "både och") så är mängden som helhet varken öppen eller sluten eftersom det kräver att alla randpunkter är öppna/slutna. Så menade jag.

I alla fall är svaret till nilsson99 att det krävs att alla randpunker är samma.

Det här är mycket troligt en flervariabelanalysfråga.

Vad för avancerade andra definitioner finns det? Berätta!

Nä, jag skapar en egen tråd nu.

En punkt kan inte vara öppen eller sluten. En mängd är antingen öppen eller inte öppen, samt sluten eller inte sluten.

Men... så vad är mängd D1 i frågan?

Den är varken öppen eller sluten, det vill säga den är inte öppen och den är inte sluten.

Ja...? Vad har jag sagt fel då? Jag har väl inte pratat om slutenhet/öppenhet av en punkt?

Jaha jag tror jag vet vad du säger, men hur annars ska man förklara att tex D1 är varken sluten eller öppen? Det är fel att säga att den är "bitvis" öppen/sluten eftersom öppen/sluten är egenskaper hos mängder och inte randpunkterna i sig, men jag ser inget annat sätt att säga det.

Du skrev "Om den är både och så är den varken eller", vilket är fel. På min kurs i flervariabelanalys definierades en öppen mängd som en mängd där alla punkter är inre punkter, och en sluten mängd som en mängd som innehåller alla sina randpunkter. Därmed är en mängd inte öppen om det finns en punkt i mängden som inte är en inre punkt, och en mängd är sluten om det finns en randpunkt som inte är inkluderad i mängden.

Blev upplyst om att det saknades ett inte i sista meningen. Det ska stå "...en mängd är inte sluten om det finns en randpunkt som inte är inkluderad i mängden."

parveln skrev:

Du skrev "Om den är både och så är den varken eller", vilket är fel. På min kurs i flervariabelanalys definierades en öppen mängd som en mängd där alla punkter är inre punkter, och en sluten mängd som en mängd som innehåller alla sina randpunkter. Därmed är en mängd inte öppen om det finns en punkt i mängden som inte är en inre punkt, och en mängd är sluten om det finns en randpunkt som inte är inkluderad i mängden.

Osäker om jag ska göra ny tråd istället men frågar här för det är samma diskussion: 

om vi tar tex denna liknande fråga på d), om jag förstått rätt, är svaret på den här då att D1 i detta fall är inte öppen, och den är bitvis sluten? Samt att D2 i det här fallet då är öppen? 

Jag skulle säga att D1 är "bitvis" sluten och öppen, men det är fel. Man ska säga att vissa randpunkter tillhör D1 samtidigt som andra inte gör det, D1 uppfyller alltså varken kraven för att vara sluten eller öppen, så den är varken sluten eller öppen

Qetsiyah skrev:

Jag skulle säga att D1 är "bitvis" sluten och öppen, men det är fel. Man ska säga att vissa randpunkter tillhör D1 samtidigt som andra inte gör det, D1 uppfyller alltså varken kraven för att vara sluten eller öppen, så den är varken sluten eller öppen

är förvirrad nu, parveln sa att "Därmed är en mängd inte öppen om det finns en punkt i mängden som inte är en inre punkt," och på D1 så finns ju också en del randpunkter men också inre punkter, och att "en mängd är inte sluten om det finns en randpunkt som inte är inkluderad i mängden" men alla randpunkter är väl med i mängden D1? så därför är den väl bitvis sluten?

Undvik orden "bitvis öppen" och "bitvis sluten". Det är ingen terminologi som verkar existera utanför denna tråden. Angående uppgiften: Har du ritat mängden? Vad tycker du till exempel om punkten (0,1)?

I definitionen av D₁ finns det ett "<". Detta betyder att randen inte ingår i mängden. Mängden är öppen.

I definitionen av D₃ finns det ett "$\le$". Detta betyder att randen ingår i mängden. Mängden är sluten.

I definitionen av D2 finns båda. Detta betyder att delar av randen ingår, och att delar av randen inte ingår i mängden. Mängden är varken öppen eller sluten.

Smaragdalena skrev:

I definitionen av D₁ finns det ett "<". Detta betyder att randen inte ingår i mängden. Mängden är öppen.

I definitionen av D₃ finns det ett "$\le$". Detta betyder att randen ingår i mängden. Mängden är sluten.

I definitionen av D2 finns båda. Detta betyder att delar av randen ingår, och att delar av randen inte ingår i mängden. Mängden är varken öppen eller sluten.

Nja att tänka så kan leda till tankefällor, i detta fallet är det rätt, men vi kan t ex också betrakta mängden(i R) { x <= 0, 1 < x} den är tom och därmed öppen och sluten. Mängden {(x,1/x), där x >0} är sluten, och inte öppen. Det finns sätt att formalisera det du skriver så att det blir korrekt, men i allmänhet gäller det inte som du skrivit det. Om man inte har en så djup teoretisk nivå på sin analyskurs är det bästa att försöka rita mängden och undersöka själv.

parveln skrev:

Smaragdalena skrev:

I definitionen av D₁ finns det ett "<". Detta betyder att randen inte ingår i mängden. Mängden är öppen.

I definitionen av D₃ finns det ett "$\le$". Detta betyder att randen ingår i mängden. Mängden är sluten.

I definitionen av D2 finns båda. Detta betyder att delar av randen ingår, och att delar av randen inte ingår i mängden. Mängden är varken öppen eller sluten.

Nja att tänka så kan leda till tankefällor, i detta fallet är det rätt, men vi kan t ex också betrakta mängden(i R) { x <= 0, 1 < x} den är tom och därmed öppen och sluten. Mängden {(x,1/x), där x >0} är sluten, och inte öppen. Det finns sätt att formalisera det du skriver så att det blir korrekt, men i allmänhet gäller det inte som du skrivit det. Om man inte har en så djup teoretisk nivå på sin analyskurs är det bästa att försöka rita mängden och undersöka själv.

har ritat dem här. Hur ska jag då tänka vad svaret blir på d)? Det här är från den andra frågan jag la upp senare i tråden