Operationer med den naturliga logaritmen

Kan du lägga upp en bild eller liknande? Jag har svårt att tro att de skulle göra ett sånt steg utan att förklara sig.

Det går ju att göra så här eftersom $\sin(x) \approx x$ när $x$ är litet, men jag tycker ändå de borde förklara sig närmare.

Såhär ser det ut i Lösningsskissen.

Man kan antingen göra det lätt eller krångla till det.

Det verkar för mig vansinnigt att dra in sinus i detta.

Vad poängen med att sätta in sinus i detta fall är undgår mig, men anledningen till att man kan göra det är eftersom att $\sin(x) \approx x$, och ju närmare du kommer noll desto mer exakt blir uppskattningen. Tar du gränsvärdet mot noll ter sig $\sin(x)$ på samma sätt som $x$, och eftersom de ter sig på samma sätt när de närmar sig noll kan man växla den ena mot den andra i gränsvärdet.

Det känns som att det är ett tryckfel någonstans. Är uppgiften kanske helt enkelt gränsvärdet för

ln(1 - sin(3x))/(x^2 + 2x)

?

Hej!

Istället för att göra galenskaperna som står i facit föreslår jag följande metod.

Täljaren skrivs om som

    $\displaystyle\ln(1-3x)-\ln (1-3\cdot 0)$

och kvoten förlängs med $x.$ Nämnaren skrivs om till

    $\displaystyle(x^2+2x)-(0^2+2\cdot 0).$

Det låter dig uttrycka kvoten på följande form.

    $\displaystyle\frac{\ln(1-3x)-\ln(1-3\cdot 0)}{x} \cdot \frac{x}{(x^2+2x)-(0^2+2\cdot 0)} = \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \cdot \frac{x-0}{g(x)-g(0)},$

där jag definierat funktionerna

    $\displaystyle f(x) = \ln(1-3x) \text{ och } g(x) = x^2+2x.$

När talet $x$ närmar sig $0$ kommer kvoten att närma sig talet $\frac{f'(0)}{g'(0)}$ enligt definitionen av derivatorna $f'(0)$ och $g'(0).$ Kvoten är lika med

    $\displaystyle\frac{f'(0)}{g'(0)}=\frac{-\frac{3}{1-3\cdot 0}}{2\cdot 0+2}=-\frac{3}{2}.$