6 svar
94 visningar
EmilLindmark 10 – Fd. Medlem
Postad: 16 jul 2018 16:06

Operationer med den naturliga logaritmen

Goddag!
Uppgiften ser ut på följande vis:
limx0ln(1-3x)x2+2x

Man har i facit skrivit om täljaren som:

ln(1-sin3x)

Hur kommer det sig att man får göra detta?

AlvinB 4014
Postad: 16 jul 2018 16:10

Kan du lägga upp en bild eller liknande? Jag har svårt att tro att de skulle göra ett sånt steg utan att förklara sig.

Det går ju att göra så här eftersom sin(x)x\sin(x) \approx x när xx är litet, men jag tycker ändå de borde förklara sig närmare.

EmilLindmark 10 – Fd. Medlem
Postad: 16 jul 2018 16:16

Såhär ser det ut i Lösningsskissen.

Dr. G 9479
Postad: 16 jul 2018 16:19

Man kan antingen göra det lätt eller krångla till det.

Det verkar för mig vansinnigt att dra in sinus i detta.

AlvinB 4014
Postad: 16 jul 2018 16:25 Redigerad: 16 jul 2018 16:25

Vad poängen med att sätta in sinus i detta fall är undgår mig, men anledningen till att man kan göra det är eftersom att sin(x)x\sin(x) \approx x, och ju närmare du kommer noll desto mer exakt blir uppskattningen. Tar du gränsvärdet mot noll ter sig sin(x)\sin(x) på samma sätt som xx, och eftersom de ter sig på samma sätt när de närmar sig noll kan man växla den ena mot den andra i gränsvärdet.

Dr. G 9479
Postad: 16 jul 2018 17:01

Det känns som att det är ett tryckfel någonstans. Är uppgiften kanske helt enkelt gränsvärdet för

ln(1 - sin(3x))/(x^2 + 2x)

?

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 16 jul 2018 18:45

Hej!

Istället för att göra galenskaperna som står i facit föreslår jag följande metod.

Täljaren skrivs om som

    ln(1-3x)-ln(1-3·0)\displaystyle\ln(1-3x)-\ln (1-3\cdot 0)

och kvoten förlängs med x.x. Nämnaren skrivs om till

    (x2+2x)-(02+2·0).\displaystyle(x^2+2x)-(0^2+2\cdot 0).

Det låter dig uttrycka kvoten på följande form.

    ln(1-3x)-ln(1-3·0)x·x(x2+2x)-(02+2·0)=f(x)-f(0)x-0·x-0g(x)-g(0),\displaystyle\frac{\ln(1-3x)-\ln(1-3\cdot 0)}{x} \cdot \frac{x}{(x^2+2x)-(0^2+2\cdot 0)} = \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \cdot \frac{x-0}{g(x)-g(0)},

där jag definierat funktionerna

    f(x)=ln(1-3x) och g(x)=x2+2x.\displaystyle f(x) = \ln(1-3x) \text{ och } g(x) = x^2+2x.

När talet xx närmar sig 00 kommer kvoten att närma sig talet f'(0)g'(0)\frac{f'(0)}{g'(0)} enligt definitionen av derivatorna f'(0)f'(0) och g'(0).g'(0). Kvoten är lika med

    f'(0)g'(0)=-31-3·02·0+2=-32.\displaystyle\frac{f'(0)}{g'(0)}=\frac{-\frac{3}{1-3\cdot 0}}{2\cdot 0+2}=-\frac{3}{2}.

Svara
Close