Operation av imaginärdel

Prova.

Eller multiplicera ihop z och z-konjugat och se vad du får. 

Hej!

Om $z\in \mathrm{ℂ}, z=a+bi, a,b\in \mathrm{ℝ}$så är $z*\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$, och då blir frågan:

Vad är $Im(a^2+b^2)$?

Laguna skrev:

Prova.

Eller multiplicera ihop z och z-konjugat och se vad du får. 

Men vet inte om man kan skriva -Im(z) som Im($\overline{z}$) eller ens vad Im($\overline{z}$) betyder/definieras

Moffen skrev:

Hej!

Om $z\in \mathrm{ℂ}, z=a+bi, a,b\in \mathrm{ℝ}$så är $z*\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$, och då blir frågan:

Vad är $Im(a^2+b^2)$?

Om Im(z) är imaginära delen av z vilket är b

så är $Im(a^2+b^2)$ = 0 eftersom $z·\overline{z}$ inte har någon imaginärdel?? 

Jag råder dig att vid sådana här uppgifter att alltid sätta $z=a+bi$, eftersom du då istället för att behöva kunna massa räkneregler för konjugat, absolutbelopp, imaginärdelar o.s.v. kan du direkt härleda dem.

I detta fallet får du ju mycket riktigt att $\text{Im}(z\cdot\bar{z})=\text{Im}(a^2+b^2)=0$.

AlvinB skrev:

Jag råder dig att vid sådana här uppgifter att alltid sätta $z=a+bi$, eftersom du då istället för att behöva kunna massa räkneregler för konjugat, absolutbelopp, imaginärdelar o.s.v. kan du direkt härleda dem.

I detta fallet får du ju mycket riktigt att $\text{Im}(z\cdot\bar{z})=\text{Im}(a^2+b^2)=0$.

Vi kallar ett tal för z 

Vad menas egentligen med Im(z)? Är det hur stor absolutbeloppet är för den imaginära delen av talet z och det är därför Im ( $a^2+b^2$) är lika med 0? Det skulle alltså också betyda att Re($z·\overline{z}$) = $a^2+b^2$ ?

Hej!

Ett komplext tal $z$ är ett ordnat par av reella tal $(a,b)$. Det reella talet $a$ är realdelen för $z$ och det reella talet $b$ är imaginärdelen för $z$; både $a$ och $b$ kan vara negativa tal.

Du skrev om "absolutbeloppet för den imaginära delen av talet z" vilket är samma sak som det icke-negativa talet $|b|$; detta är naturligtvis inte samma sak som det reella talet $b$.

Två komplexa tal $(a,b)$ och $(c,d)$ multipliceras på ett mycket speciellt sätt: 

    $(a,b)\cdot (c,d) = (ac-bd,ad+bc).$

Om man multiplicerar $(a,b)$ med sitt komplexkonjugerade tal $(a,-b)$ så får man därför det komplexa talet

    $(a,b)\cdot(a,-b) = (a^2+b^2,0).$

Multiplikationen besvarar din fråga huruvida

    $Im(z\cdot \bar{z}) = Im(z) \cdot Im(\bar{z}).$

Albiki skrev:

Två komplexa tal $(a,b)$ och $(c,d)$ multipliceras på ett mycket speciellt sätt: 

    $(a,b)\cdot (c,d) = (ac-bd,ad+bc).$

Om man multiplicerar $(a,b)$ med sitt komplexkonjugerade tal $(a,-b)$ så får man därför det komplexa talet

    $(a,b)\cdot(a,-b) = (a^2+b^2,0).$

Jaha, så det är som multiplikation av (a+b)$·$(c+d) där termer med i är den imaginära delen och de utan den realadelen.

Albiki skrev:

Hej!

Ett komplext tal $z$ är ett ordnat par av reella tal $(a,b)$. Det reella talet $a$ är realdelen för $z$ och det reella talet $b$ är imaginärdelen för $z$; både $a$ och $b$ kan vara negativa tal.

Du skrev om "absolutbeloppet för den imaginära delen av talet z" vilket är samma sak som det icke-negativa talet $|b|$; detta är naturligtvis inte samma sak som det reella talet $b$.

Just det, talet kan vara negativt också!

Albiki skrev:

Multiplikationen besvarar din fråga huruvida

    $Im(z\cdot \bar{z}) = Im(z) \cdot Im(\bar{z}).$

Alltså inte samma sak?

Zeshen skrev:

[...] Alltså inte samma sak?

Just det.

Beräkningen visar räkneregeln

    $Im(z\cdot w) = Re(z)Im(w)+Im(z)Re(w).$