ON-baser

Generellt gäller att kolumnerna i avbildningsmatrisen är avbildningarna av basvektorerna. 

Fundera på dessa frågor:

Om du låter en vektor i planet avbildas enligt denna avbildning, vad blir resultatet? 

Vilka är koordinaterna i basen F för den vektor som i standardbasen har koordinaterna 1/3(2,2,1)?

Om du projicerar vektorn (uttryckt i standardbasen) 1/3(2,2,1), vad blir resultatet, uttryckt i basen F? 

Vilka är koordinaterna i basen F för den vektor som i standardbasen har koordinaterna 1/3(2,2,1)?

Jag har verkligen ingen aning... Får jag fråga vilken som är standardbasen i det här fallet? Jag förstår verkligen inte linjära avbildningar...

Edit: Om jag har fattat det rätt så blir svaret (4/9, 4/9, 2/9) stämmer det? Om vi projicera 1/3(2,2,1) på tex (1,0,0). Fel eller?

Det är åtminstone tre spännande saker på gång i din uppgift, nämligen

• Koordinattransformation från en bas till en annan.
• Ortogonal projektion.
• Transformation av matrisen för en linjär avbildning från en bas till en annan.

För att förstå uppgiften är det viktigt att inte blanda ihop allt på en gång samt att vara noga med i vilken bas saker är uttryckta.

När det gäller ortogonal projektion på ett plan innebär det att man tar en vektor och projicerar den på ett plan, inte på en linje eller annan vektor. Låt oss  en stund och bara fokusera på ortogonal projektion på ett plan. Strunta alltså i resten av uppgiften, andra baser, linjära avbildningar osv

Skulle du kunna projicera vektorn $u=(1,2,3)$ på xy-planet? Vad skulle det bli för vektor?

Skulle du kunna uttrycka projektionen för en allmän vektor $u$ på xy-planet med en matris? Hur skulle en sådan matris ser ut? Jag tänker mig alltså ett uttryck på formen

$u_{proj}=Au$

Hur ser $A$ ut?

Då blir A = $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$, om jag inte har fel? Sen a multiplicerad med u som ger oss: (1 2 0)

Jättebra!

Alltså har du nu projicerat en vektor på ett plan som ges av de två första basvektorerna.

Det spelar ingen roll om du råkade vara i det ortogonala koordinatsystemet som hör till "standardbasen" $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\}$ eller om du gjorde projektionen i den ortogonala basen $F=\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}$

Om du bestämmer dig för att du gjorde projektionen i basen $F$ är matrisen för projektionen alltså

$A_F=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0& 0 & 0\end{pmatrix}$

För att alltid vara säker på i vilket koordinatsystem en vektor eller en matris är uttryckt lägger vi på ett $F$ nedtill på koordinatlistorna för de vektorer och matriser som är uttryckta i basen $F$

Är du med?

Yes! Nu hänger jag med. Däremot så undrar jag kommer A_f alltid vara (1 0 0; 0 1 0; 0 0 0) (i xy-planet) & (1 0 0; 0 1 0; 0 0 1) (i xyz-planet)? För tex på den här uppgiften:
"bestäm matrisen (i standardbasen) för den linjära avbidlningen i R^3 som svarar mot spegling i planet x + y + 2z = 0"

Så beräknas A_f som $\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$, där man har F = (f1 f2 f3)

$f_1=\frac{1}{\sqrt{6}}{(1 1 2)}^t, f_2=\frac{1}{\sqrt{2}}{(1 -1 0)}^t, f_3=\frac{1}{\sqrt{3}}{(1 1 -1)}^t$,

I den uppgiften är normalen till planet $(1,1,2)$.

Man inrättar ett nytt koordinatsystem där man låter normalen peka utmed den första koordinataxeln $f_1$ och sedan har man två ortogonala basvektorer som ligger i planet (och dessa är självklart också vinkelräta såväl mot normalen $f_1$ som mot varandra).

För att genomföra speglingen låter man komponenterna för $f_2$ och $f_3$ ligger kvar oförändrade i planet, men man byter tecken på komponenten som är normal till planet. dvs komponenten som hör till den första koordinaten (med koordinataxel $f_1$). På det sätter hamnar vektorn i spegelpunkten (under planet). Notera att det är stor skillnad att spegla något att projicera något på ett plan.

Herregud, jag tror jag fattar nu. Började nästan bli tokig på pga den. Jag antar att detta är relaterat till orientering av vektorer? Ex om f_3 skulle peka ut på skärmen skulle hela den vara negativt orienterad.

Edit: Tack så hemskt mycket för hjälpen! :D

Ja, det är viktigt i vilken ordning du räknar upp basen. Du bestämmer själv hur du vill lägga basvektorerna, men det är väldigt bekvämt att ha dem

• Normerade
• Ortogonala
• I rätt uppräkningsordning

I din uppgift ovan har du alltså projicerat på planet som ges av de två första basvektorerna $\mathbf{v}_1$ och $\mathbf{v}_2$

Notera hur vi döper allt som anges i systemet $F$ med ett extra $F$.

Sedan gäller det slutligen att klura ut hur man ska transformera matrisen $A_F$ till standardbasen (Dvs $A_F\to A$). Det finns en sats som säger att

$A=FA_FF^{-1}$

Det blir extra enkelt om matrisen $F$ är ortogonal (dvs om basen är ortogonal och normerad), då gäller att $F^{-1}=F^T$

Jag förstår. Jag har den formlen i boken också dock så fattade jag inte innebörden av den, men nu har jag mycket mycket bättre koll. Now it makes sense att $A_f=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$, då speglingen blir negativ på x axeln. Samma sak om vi hade skapa en vektor med v3 x v2, då får man $A_f=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$. It makes sense, om jag inte har fel. Jag har bättre koll på vad som händer nu, ska läsa om kapitlet så att allt fastnar. :D