ON-baser

Notera att detta är detsamma som att bestämma en bas för nollrummet till matrisen

$\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 2& 1& 1\\ 0& 1& 1& 1& 0\\ 1& -3& -2& 0& 1\end{array}\right]$.

Använd gausselimination för att få den på radreducerad standardform. Bestäm sedan bas för nollrummet.

Använd sedan Gram-Schmidt för att få ON bas för nollrummet.

Gaussning ger denna matris: A= $\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$. Detta ger att Ker(A)=span{$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$, $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -3\end{array}\right]$,$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$}. Hur gör jag sen?

Nja, något har gått fel. Ker(A) är ett underrum till ${\mathrm{ℝ}}^5$. Du bör få vektorer med 5 rader.

okej, då har jag ingen aning om hur jag ska göra 😅

Du har räknat ut en bas för bildrummet till matrisen.

Om vi antar att du räknat ut A rätt (har inte kontrollräknat) så kan vi tolka A så att

x₄ = 0 (sista raden).

x₂ = -x₃ (andra raden)

x₁ = -x₃ - x₅ (första raden). Vi kan skriva detta som

$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\end{array}\right]$ = -x₃$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$ - x₅$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\\ -1\end{array}\right]$. Där x₃ och x₅ kan väljas godtyckligt.

Således utgör tex vektorerna [1 1 -1 0 0]^T och [1 0 0 0 -1]^T en bas för nollrummet.

Nja, nu hänger jag inte alls med...

Kolla på det här exemplet. 

Jag använde en räknare för det verkar fortfarande inte stämma. Så ker(A)=$\{\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\}$ och col(A)=$\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\}$ då kolumn 1, 2 och 4 har ledande ettor efter gaussning

Vad är problemet?

Så jag ska alltså ta Gram-Schmidt på Ker(A)  vilket ger ortonormala vektorerna $\{\left(\begin{array}{c}-\frac{\sqrt{3}}{3}\\ -\frac{\sqrt{3}}{3}\\ \frac{\sqrt{3}}{3}\\ 0\\ 0\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}-\frac{2\sqrt{15}}{15}\\ \frac{\sqrt{15}}{15}\\ -\frac{\sqrt{15}}{15}\\ 0\\ \frac{\sqrt{15}}{15}\end{array}\right)\}$ men det står något helt annat i facit... 

Det finns oändligt många ON-baser. Vad säger att du gjort fel? Kolla om dina vektorer är ON och om de ligger i W. Om ja, så har du gjort rätt.