ON-bas

Nu har jag inte kontrollräknat, men nej det är inte nödvändigtvis så att du måste hitta en tredje vektor. Om kerneln är av dimension 2 så kommer basen enbart innehålla två vektorer.

Hej!

Din matris

    $\displaystyle A = \begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&2&3&4\\4&3&2&1\end{pmatrix}$

är ekvivalent med följande radreducerade matris.

    $\displaystyle A^{'} = \begin{pmatrix}1&0&-1&-2\\0&1&2&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}$.

Eftersom den radreducerade matrisen har två stycken pivotelement så har matrisen $A$ två stycken linjärt oberoende kolonner; med andra ord, matrisen $A$ har rangen $2$.

Om vektorn

    $\displaystyle x = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}$

är en vektor i kärnan $\text{Ker}(A)$ så  visar den radreducerade matrisen att $x_1 = x_3+2x_4$ och att $x_2 = -2x_3 - 3x_4,$ det vill säga att vektorn $x$ kan skrivas som en linjärkombination av två vektorer.

    $\displaystyle x = x_3\begin{pmatrix}1\\-2\\1\\0\end{pmatrix} + x_4\begin{pmatrix}2\\-3\\0\\1\end{pmatrix}.$

Dessa två vektorer utgör därför en bas till kärnan.

Albiki

Hej igen!

De två basvektorerna är varken normerade eller ortogonala (med avseende på standardskalärprodukten i $\mathbb{R}^4$.) Låt $\{e_1,e_2\}$ vara en ON-bas till $\text{Ker}(A)$ där

    $\displaystyle e_1 = \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}$

och $e_2 = ae_1 + bv_2$ är en speciell linjärkombination av $e_1$ och $v_2$ som är ortogonal mot $e_1$. Ortogonalitetsvillkoret ger följande samband mellan koefficienterna $a$ och $b$.

    $\displaystyle 0 = e_2\cdot e_1 = a + b e_1\cdot v_2 = a+b \frac{8}{\sqrt{6}}$

där $e_2 \cdot e_1$ betecknar skalärprodukten mellan vektorerna $e_1$ och $e_2$. Detta betyder att

    $\displaystyle e_2 = b\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\\1\end{pmatrix}$

där koefficienten $b$ bestäms av att vektorn $e_2$ ska vara normerad. En ON-bas för $\text{Ker}(A)$ är därför mängden $\{e_1,e_2\}$ där  

    $\displaystyle e_1 = \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\\0\end{pmatrix} \quad \text{ och } \quad e_2 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\\1\end{pmatrix}.$

Albiki

Hej igen!

Istället för uttrycket för $e_2$ som jag skrev ska det stå

    $\displaystyle e_2 = \frac{1}{\sqrt{30}}\begin{pmatrix}2\\-1\\-4\\3\end{pmatrix}$.

Kontrollera att vektorerna $e_1$ och $e_2$ är ortogonala och att de båda har normen 1!

Albiki

OKej! 

Tack hörni! =)