Omvandling av komplexa exponenter till trig.-funktion

Fastnat på en matematisk förberedelse uppgift i en kurs i teoretisk elektroteknik (ang. antenner). Den lyder som:

Visa att:

$|e^{- j k R 1} + e^{- j k R 2}| = 2 |\cos (\frac{a}{2} + \frac{k (R 1 - R 2)}{2})|$ ,

genom att bryta ut $e^{- j k (R 1 + R 2) / 2}$ samt $e^{j \frac{a}{2}}$ .

Förhoppningsvis är det jag som missat något uppenbart, men när jag ska omvandla via formeln $2 \cos (x) = e^{j x} + e^{- j x}$ ,

stöter jag på hinder då $\frac{a}{2}$ har samma polaritet i exponenterna. För biten k(R1-R2)/2 argumentet får jag rätt uttryck, men just hur a/2 förekommer har jag fastnat på, då det blir $e^{. . . - j \frac{a}{2}} + e^{. . . - j \frac{a}{2}}$ med faktoriseringen som givits i uppgiftslydelsen. Är det möjligt att det saknas någon term i uppgiften, eller är det bara jag som tänkt fel?

Hej,

Talet $e^{-jkR_2}$ ligger på Enhetscirkeln varför $|e^{-jkR_2}|=1$ så

$\displaystyle\left|e^{-jkR_2}\cdot(e^{-jk(R_1-R_2)}+1)\right|=\left|e^{-jk(R_1-R_2)}+1\right|$ .

Vad är $a$ för något? Det förekommer ej i vänsterledet och kan därför ej magiskt dyka upp i högerledet, eller?

Precis det jag syftar på också, att det känns som att det är tryckfel eller något? I många uppgifter i detta kapitel är det dipoler med samma magnitud fast fasförskjuten (så det blir ett problem som liknar detta, fast en av termerna i vänsterledet av originalproblemet är fasförskjutet med något argument), och då funkar resonemanget du lagt fram utmärkt för att sedan kunna faktorisera och stutligen få fram en cosinus, men just i denna uppgift får jag inte fram något. Kanske är det möjligt att uppgiften ska vara $|e^{- j k R 1} + e^{j a} e^{- j k R 2}|$ eller något i den stilen?

fågelskit skrev:
Precis det jag syftar på också, att det känns som att det är tryckfel eller något? I många uppgifter i detta kapitel är det dipoler med samma magnitud fast fasförskjuten (så det blir ett problem som liknar detta, fast en av termerna i vänsterledet av originalproblemet är fasförskjutet med något argument), och då funkar resonemanget du lagt fram utmärkt för att sedan kunna faktorisera och stutligen få fram en cosinus, men just i denna uppgift får jag inte fram något. Kanske är det möjligt att uppgiften ska vara $|e^{- j k R 1} + e^{j a} e^{- j k R 2}|$ eller något i den stilen?

Ja, om det är som du föreslår så kan du skriva

$e^{j0.5a-jkR_2}\cdot(e^{j0.5a}+e^{-j(0.5a+k(R_1-R_2))})$

som ger amplituden

$\left|e^{j0.5a}+e^{-j\left(0.5a+k\left(R_1-R_2\right)\right)}\right|$

Yes, och i detta fall löser sig a/2-delen. Resterande del av argumentet i cosinus-funktionen hade redan löst sig sedan innan, och isåfall är det klart. Ska kontrollchecka med kursansvarig eller liknande att det är fel i frågan, men detta känns som det mest troliga. Tack för hjälp!

Notera att uttrycket $e^{ju}+e^{-jv}$ kan skrivas på rektangulär form $\cos u + \cos v + j(\sin u-\sin v)$ och Additionsformel för cosinusfunktion och för sinusfunktion låter dig skriva

$\displaystyle\cos u + \cos v = 2\cos\frac{u+v}{2}\cdot\cos\frac{u-v}{2}$

och

$\displaystyle\sin u-\sin v = 2\cos\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}$

så enligt Trigonometriska ettan kan du skriva

$\displaystyle\left|e^{ju}+e^{-jv}\right|^2 = 4\cos^2\frac{u+v}{2}\cos^2\frac{u-v}{2}+4\cos^2\frac{u+v}{2}\sin^2\frac{u-v}{2} = 4\cos^2\frac{u+v}{2}$ .

Detta ger

$\displaystyle\left|e^{j0.5a}+e^{-j\left(0.5a+k\left(R_1-R_2\right)\right)}\right|=2\left|\cos \frac{0.5a+0.5a+k\left(R_1-R_2\right)}{2}\right|=2\left|\cos \left(a+0.5k\left(R_1-R_2\right)\right)\right|$

Svara

Visa senaste svar