Omvandla talen

Nu har jag inte tänkt igenom detta, men det ser ut som om kvadratsumman är invariant för de där transformationerna. Testa och se om det hjälper dig. Annars får du leta efter annan invariant skulle jag tro.

okej jag är inte riktigt med, det jag ser är att det andra talet är oförändrar så alltså kan man väl anta att a och b ska vara den första och tredje talen, men jag förstår inte riktigt vad de menar med en följd av drag

 Om vi har talen a, b, c då gäller det att

$a^2+b^2+c^2={\left(\frac{a + b}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{a - b}{\sqrt{2}}\right)}^2+c^2$

Så alltså kommer denna kvadratsumma alltid vara den samma när du väljer ut två tal och ersätter dom med de talen som anges. Är kvadratsumma lika för starten och slutmålet?

Har vi alltså byt ut $a^{2}mot{\left(\frac{a+b}{\sqrt{2}}\right)}^2$ och $b^{2}mot{\left(\frac{a-b}{\sqrt{2}}\right)}^2$ och har kvar $c^2$ oförändrat?

jag är inte riktigt med på hur man ska få fram svaret genom denna metod även om den troligtvis är den bästa, när jag försökte själv kunde jag bara få två av tre svar rätt.

Vad blir $a^2+b^2+c^2$ med ursprungssiffrorna?

Vad blir $a^2+b^2+c^2$ med målsiffrorna?

Är det samma värde i båda fallen?

Svaret kommer vara att det inte går att finna sådana drag. För att förtydliga, vi börjar med

1, sqrt(2), 1 + sqrt(2)

Vi väljer i detta fall att a  =1, b = sqrt(2). Detta ger oss de nya talen

$\frac{1 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}, \frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}}, 1 + \sqrt{2}$

Nu kanske vi väljer att $a =\hspace{0.17em}1 + \sqrt{2}, b =\hspace{0.17em}\frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$, vilket ger de nya talen

$\frac{1 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}, \frac{3}{2}, -\frac{1}{2}-\sqrt{2}$

(om jag inte gjorde något slarv här). Vi har nu tre tripplar, vad är kvadratsumman för varje enskild trippel?

smaragdalena skrev :

Vad blir $a^2+b^2+c^2$ med ursprungssiffrorna?

Vad blir $a^2+b^2+c^2$ med målsiffrorna?

Är det samma värde i båda fallen?

Med ursprungssiffrorna får jag $1^2+2+1^2+2=6$ 

Med målsiffrorna får jag istället $2^2+2+\frac{1}{2}=6,5=\frac{13}{2}$

Vilket alltså inte är lika.

Jursla skrev :

smaragdalena skrev :

Vad blir $a^2+b^2+c^2$ med ursprungssiffrorna?

Vad blir $a^2+b^2+c^2$ med målsiffrorna?

Är det samma värde i båda fallen?

Med ursprungssiffrorna får jag $1^2+2+1^2+2=6$ 

Med målsiffrorna får jag istället $2^2+2+\frac{1}{2}=6,5=\frac{13}{2}$

Vilket alltså inte är lika.

Fast du har $1^2+2+(1 + \sqrt{2}{)}^2 \approx 8.828$, det gäller inte att $(1 + \sqrt{2}{)}^2=1 + 2$.

Är du med på att kvadratsumman inte förändras när du ersätter siffrorna på det sättet som beskrivs?

och eftersom Stokastisk har visat att $a^2+b^2+c^2$ inte förändras genom de beskrivna dragen, kan man alltså dra slutsatsen att...

men hur förändras det om, jag har ju $1,\sqrt{2},\left(1+\sqrt{2}\right)=1,2,\left(1+2\sqrt{2}+2\right)=1,2,3+\sqrt{2}=6+2\sqrt{2}$ i den ursprungliga och $2,\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2}}=4,2,\frac{1}{2}=6+\frac{1}{2}$ i målsiffrorna

Är du med på att kvadratsumman inte förändras när du ersätter siffrorna på det sättet som beskrivs?

Det jag inte är med på är att jag får summan av ursprungssiffrorna till 6 och summan av målsiffrorna till 6,5 alltså har den väl förändrats?

I början är det alltså $6 + 2\sqrt{2}$, och för att komma till målet så måste du få 13/2. Det är korrekt. Så summan måste förändras för att du ska kunna hitta en dragföljd som leder till målet.

Så om du lyckas komma fram till att kvadratsumman inte går att förändra, så har du också kommit fram till att en sådan dragföljd inte är möjlig.

Okej, men då vet vi ju att summan förändras då vi började med 6 och slutade på 6,5

Men hur ska man utifrån det kunna gå vidare till att bestämma om kvadratsumman går att förändra eller inte? där är jag inte med riktigt.

Notera att du startar på $6 + 2\sqrt{2}$, inte på 6.

Är du med på att $a^2+b^2+c^2={\left(\frac{a + b}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{a - b}{\sqrt{2}}\right)}^2+c^2$? Denna likhet säger att kvadratsumman inte förändras om man tar två tal, a och b, och ersätter dom med $\frac{a + b}{\sqrt{2}},\frac{a - b}{\sqrt{2}}$.

hej, ja den likheten är jag med på.

ja, det har du rätt i, jag glömde att ta med 2root2

Men om vi med hjälp av denna likhet kan avgöra att kvadratsumman inte förändras vad ska man då använda $6+2\sqrt{2}$ och 6,5 till?

och kan man då med hjälp at denna likhet säga att det inte finns något drag som kan förändra ursprungstalen till måltalen?

Likheten innebär alltså att kvadratsumman inte förändras när man gör olika drag.

Säg att vi hade haft att slutmålet och starten hade haft samma kvadratsumma, då hade det inte varit några problem med att kvadratsumman inte förändras.

Men eftersom vi vet att starten har kvadratsumman $6 + 2\sqrt{2}$ och slutet har 6.5, så har vi följande

• Kvadratsumman kan inte förändras när vi gör dragen
• Kvadratsumman måste förändras för att nå måltalen.

Detta är alltså en omöjlighet, så slutsatsen är att vi inte kan nå måltalen.

okej, så om vi hade haft samma värde vid slutmålet som vid starten, om båda var 6,5 hur skulle svaret förändras då?

Jursla skrev :

okej, så om vi hade haft samma värde vid slutmålet som vid starten, om båda var 6,5 hur skulle svaret förändras då?

Då hade vi inte kunnat säga något utifrån enbart detta.

Då skulle det kanske gå (på något sätt, vi vet inte vilket) att komma från start-talen till mål-talen. Det är fullt möjligt att det finns någonting annat som gör att det inte går ändå, det vet vi inte. Men vi vet att det inte går att gå från "våra" start-tal till "våra" mål-tal genom de transformationer som är tillåtna.

okej vad bra, tack för hjälpen