Omvandla sfärisk vektor till kartesisk

Du blandar ihop $A_{\theta}$ med vinkeln $\theta$.

$A_{\theta}$ är vektorns komposant utmed basvektorn $\mathbf{a}_\theta$. $\theta$ är vinkeln mellan $\mathbf{a}_r$ och z-axeln. På samma sätt verkar du blanda ihop $A_\phi$ med vinkeln $\phi$ i xy-planet.

Basvektorn $\mathbf{a}_{\phi}$ är parallell med xy-planet, men basvektorn $a_{\theta}$ bildar vinkeln $\pi/2-\theta$ med z-axeln.

Kan du försöka rita en bild över situationen i två dimensioner?

D4NIEL skrev:

Kan du försöka rita en bild över situationen i två dimensioner?

Var det så här du tänkte?

Du kan även härleda det analytiskt.

${\overrightarrow{a}}_{\alpha }=\frac{{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \alpha }}}{\left|\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \alpha }\right|}, \alpha \in \left\{\theta , \varphi , r\right\}$. 

Där man untnyttjar att $\overrightarrow{r}=r\left(\sin \theta \cos \varphi {\overrightarrow{e}}_x+\sin \theta \sin \varphi {\overrightarrow{e}}_y+\cos \theta {\overrightarrow{e}}_z\right)$.

Det var en riktigt bra bild, förutom att $a_y$ pekar åt fel håll. Men din bild illustrerar xy-planet.

Det du vill göra är att projicera en vektor på z-axeln. Så det är ju bra om z-axeln finns med!

Nu kan du projicera basvektorn $\mathbf{\hat{e}}_\theta$ på z-axeln och så får du den saknade termen (multiplicerat med dess fysikaliska komponent $A_\theta$ såklart).

Tillägg: 2 nov 2023 17:30

Nu råkade jag visst byta namn på basvektorerna, men låtsas att du har en vektor $\mathbf{A}=A_r\mathbf{\hat{e}}_r+A_\theta\mathbf{\hat{e}}_\theta+A_\phi\mathbf{\hat{e}}_\phi$. Eller att det står lilla $\mathbf{a}$ istället för $\mathbf{e}$

D4NIEL skrev:

$A_{\theta}$ är vektorns komposant utmed basvektorn $\mathbf{a}_\theta$. $\theta$ är vinkeln mellan $\mathbf{a}_r$ och z-axeln. På samma sätt verkar du blanda ihop $A_\phi$ med vinkeln $\phi$ i xy-planet.

Om vi backar tillbaka hit. Vad menas med att $A_\theta$ är vektorns komposant ut med basvektorn $a_\theta$?

Vilken nivå av matte är detta? Vilken kurs?

Themuslim7 skrev:

Vilken nivå av matte är detta? Vilken kurs?

Detta är egentligen från en kurs i elektromagnetism.

Cien skrev:

D4NIEL skrev:

$A_{\theta}$ är vektorns komposant utmed basvektorn $\mathbf{a}_\theta$. 

Om vi backar tillbaka hit. Vad menas med att $A_\theta$ är vektorns komposant ut med basvektorn $a_\theta$?

I sfäriska koordinater har varje punkt ett eget koordinatsystem, basvektorerna är funktioner av punkten. En vektor $\mathbf {A}$ som skrivs

$A_r\mathbf{a}_r+A_\theta\mathbf{a}_\theta+A_\phi\mathbf{a}_\phi$

Innebär inte att vektorn är en lägesvektor till punkten $(r=A_r, \theta=A_\theta, \phi=A_\phi)$

Ortsvektorn i sfäriska koordinater är $\mathbf{r}=r\mathbf{a}_\hat {r}$ och saknar $\theta$- och $\phi$-komponenter.

Informationen om punktens vinkelberoende ligger istället dold i basvektorn $\mathbf{a}_r=(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi, \cos\theta)$.

$A_{\theta}\mathbf{a}_\theta$ är en vektor av längden $|A_\theta|$ som är riktad utmed basvektorn $\mathbf{a}_\theta$. Det är inte en vinkel.

Vektorn $A_{\theta}\mathbf{a}_\theta$  kan också skrivas

$A_\theta(\cos\theta\cos\phi,\cos\theta\sin\phi, -\sin\theta)$

där $\theta$ och $\phi$ beror på i vilken punkt du upprättat ditt system, de har inte explicit med de fysikaliska komponenterna att göra