Omvänd Maclaurinutveckling

Det finns inget unikt svar på den frågan. Exempelvis så är en lättsedd funktion med den utvecklingen polynomet som består av de fyra första termerna i utvecklingen. Så frågan är rätt dåligt ställd.

Om jag hade stött på det i en forskningssituation (speciellt om det var fråga om genererande funktioner), så skulle jag titta på följden av koefficienter (kanske normaliserat med att se det som a_kx^k/k!), och sedan stoppa in den i OEIS (oeis.org), de brukar ha några förslag på vad det kan komma ifrån.

Antagligen exp(cos(x)-1), en inte helt ovanlig funktion antar jag. Skulle också föreslagit OEIS.

DrNej skrev :

Antagligen exp(cos(x)-1), en inte helt ovanlig funktion antar jag. Skulle också föreslagit OEIS.

 Jag håller med att handledaren formulerat frågan dåligt. Men att hänvisa till OEIS är som att titta i facit, utan att förstå varför svaret blir vad det blir.

Uppgiften handlar om hur man kan utgå från en Maclaurinutveckling för att sluta sig till vilken funktion det är som utvecklats (om det ens är möjligt).

För att undvika tvetydigheterna som resttermen introducerar, betrakta istället denna Maclaurinutveckling. 

    $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\ , x\in\mathbb{R}$

Hur kan man utifrån denna specifikation visa att detta är Maclaurinutveckling av funktionen $f(x) = e^x$ där $x\in\mathbb{R}?$

Problemet kan alltså formuleras såhär: Finn alla funktioner ($f\,:\,\mathbb{R}\to\mathbb{R}$) som är oändligt många gånger kontinuerligt deriverbara i noll och som är sådana att \forall

    $\displaystyle n\in\mathbb{N}\, f^{(n)}(0) = 1\ .$

Det finns väl lite olika sätt att göra detta. Att visa att exponentialfunktionen uppfyller det villkoret är rätt trivialt (bara standardderivering).

Ifall vi bara kräver oändligt deriverbara i noll så finns det givetvis många funktioner som uppfyller detta (vi kan exempelvis göra vadsomhelst sålänge vi är något avlägsna från 0 då inte ens kontinuitet krävs).

Även om vi utökar vårt krav till att vara oändligt deriverbart överallt så finns det många sätt att göra det på.

Det "klassiska" är väl att skarva ihop trevliga funktioner genom att multiplicera dem med e^(-1/x). Vid noll så kommer man då att få alla derivator lika med noll (vi sätter funktionsvärdet i 0 till 0). På så sätt så kan vi ändra funktionen rätt drastiskt en bit bort utan att förlora villkor.

Ifall vi bara vill ha lösningen e^x så får vi nog kräva analytiska funktioner (som är lika med sin serieutveckling på något litet intervall). Då finns identitetssatsen från komplex analys som säger att om två olika analytiska funktioner stämmer överens på en konvergent följd så är de lika (med lite bivillkor om sammanhängande definitionsmängder etc).

Det lär vara ett hopplöst problem, exempelvis definiera en funktion f som följer, f(x)=e^(-1/x) om x>0 och f(x)=0 annars. Det är inte så svårt att se att den är kontinuerligt deriverar överallt och alla derivator är 0 för x=0 (Maclaurinutvecklingen är alltså 0 och du kan lägga till den funktionen till godtycklig funktion utan att ändra Maclaurinutvecklingen). Det är väll standardexemplet men det lär finnas massor liknande saker.

Nu var ju kravet att samtliga derivator är lika med 1 (inte noll) när x=0. 

Jag tror det är därför han vill lägga till den till e^x. Det är ungefär som partikulärlösningar och homogena lösningar till differentialekvationer. Alla lösningar till ditt problem kan skrivas som e^x+h(x) där h(x) har alla derivatorer i 0 som 0. DrNej/jag gav exempel på h(x) som inte är nollfunktionen.