Omskrivning av formler

Värdelös uppgift. Agnes har inte "flyttat" någonting, hon har använt regler som funnits i flera hundra år. 

Men om du har $\dfrac{a}{b}=\dfrac{y}{x}$, multiplicera båda led med $\dfrac{x}{y}$ så får du i V.L. just $\dfrac{ax}{by}$. Vad återstår i H.L.?

Håller med woozah. Det finns inget räknesätt som heter "flytta över", det hon har gjort är att hon har delat med y på båda sidor och multiplicerat med x på båda sidor. Då blir högerledet $\frac{y}{x}\frac{x}{y}$. Förenkla högerledet!

Man kan också tänka att$\frac{a}{b}=\frac{1y}{1x}$. Om man flyttar y och x till vänsterled så att man får $\frac{ax}{by}$, vad är det som finns kvar på högerledet? :)

 Det är den där osynliga 1:an som jag inte riktigt är med på. Det finns alltså en 1 framför 1y och 1x, enligt Valis lösning. Då finns det 1/1 i HL. Svaret är 1.

Jag blir dock inte klokare på facits svar:

"Högerled = 1

Förklaring:

När du 'flyttar' x och y så multiplicerar respektive dividerar du samt förkortar i höger led. För att 'flytta' t ex y till vänster led dividerar du båda sidor med y, vilket ger att vi får 1 kvar:

y/y = 1."

Jag hade gjort $\frac{a}{b }= \frac{y}{x}==>\frac{ax}{b}=y ==\left(\frac{ax}{b}\right) / y =\hspace{0.17em}?$

Kan ändå inte få över $\frac{y}{x}$fast jag använder mig av räkneregler. Hade jag skrivit $\frac{y}{x}$till vänster led från $\frac{a}{b}=\frac{y}{x}$ hade jag fått $\frac{a}{x}-\frac{y}{x}= ?$. Det vill säga jag hade tagit $-\frac{y}{x}$till vänster led för att få undan det i höger led.

Jag börjar begripa lite mer om hur omskrivningen går till. $\frac{a}{b}=\frac{y}{x}$har samma förhållande mellan nämnare och täljare i båda leden. Alltså är $\frac{ax}{by}$samma kvot som $\frac{y}{x}$. Nu återstår att lista ut hur det blir 1 i höger led.

Valis förklaring är den jag kan konstatera att 1/1 i högerled är 1. Men att det står en 1 / 1 i högerled efter att nämnare och täljare multiplicerats till vänster led är jag inte riktigt säker på hur det går till. Jag har läst att det står osynliga tal framför variabler och det är vad jag kan konstatera är lösningen till uppgiften. Men att jag skulle veta att de där osynliga variablerna i följde med till vänster led är jag inte alldeles säker på att jag skulle kunna göra utan att få hjälp med uppgiften, även framöver om jag stöter på en liknande uppgift.

Sluta "flytta över"! Det är en väldigt vanlig anledning till att elever räknar fel vid ekvationslösning - de håller på att "flytta över" på något magiskt sätt, och vips har det blivit teckenfel eftersom man nite vet vad man håller på med.

Gör så här i stället:

$\frac{a}{b}=\frac{y}{x}\Rightarrow$ multiplicera båda led med x och dividera båda led med y

$\frac{a}{b}\cdot{x}{y}=\frac{y}{x}\cdot{x}{y}\Rightarrow$ multiplicera ihop

$\frac{ax}{by}=\frac{yx}{xy}\Rightarrow$ förenkla högerledet

$\frac{a}{b}=1$

Smaragdalena skrev:

Sluta "flytta över"! Det är en väldigt vanlig anledning till att elever räknar fel vid ekvationslösning - de håller på att "flytta över" på något magiskt sätt, och vips har det blivit teckenfel eftersom man nite vet vad man håller på med.

Gör så här i stället:

$\frac{a}{b}=\frac{y}{x}\Rightarrow$ multiplicera båda led med x och dividera båda led med y

$\frac{a}{b}\cdot{x}{y}=\frac{y}{x}\cdot{x}{y}\Rightarrow$ multiplicera ihop

$\frac{ax}{by}=\frac{yx}{xy}\Rightarrow$ förenkla högerledet

$\frac{a}{b}=1$

Det är facit som håller på och "flyttar över", inte jag. Så den som konstruerade denna fråga och skrev facit är väl den som rimligen borde utstå kritik på den punkten.

Nu kan jag se att du får svaret a/b = 1, men jag kan inte riktigt förstå hur du multiplicerar båda led med x och dividerar båda led med y. Enligt mig så blir $\frac{a}{b}\times xy = \frac{axy}{b}$. Men du får x i täljaren och y till nämnaren när du multiplicerar ihop dem. Det kan jag inte riktigt förstå.

renv skrev: ...

Nu kan jag se att du får svaret a/b = 1, men jag kan inte riktigt förstå hur du multiplicerar båda led med x och dividerar båda led med y. Enligt mig så blir $\frac{a}{b}\times xy = \frac{axy}{b}$. Men du får x i täljaren och y till nämnaren när du multiplicerar ihop dem. Det kan jag inte riktigt förstå.

Ekvatipnen är $\frac{a}{b}=\frac{y}{x}$

Vi tar det steg för steg. Vilket steg är du inte med på?

Steg 1: Multiplicera båda sidor med x:

$\frac{a}{b}\cdot x=\frac{y}{x}\cdot x$

Steg 2: Faktorerna multipliceras upp i täljarna:

$\frac{ax}{b}=\frac{yx}{x}$

Steg 3: Förkorta med x i högerledet:

$\frac{ax}{b}=y$

Steg 4: Dividera båda sidor med y:

$\frac{\frac{ax}{b}}{y}=\frac{y}{y}$

Steg 5: Förkorta med y i högerledet:

$\frac{\frac{ax}{b}}{y}=1$

Steg 6: Använd räkneregel $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$ i vänsterledet:

$\frac{ax}{b}\cdot\frac{1}{y}=1$

Steg 7: Multiplicera ihop bråken i vänsterledet:

$\frac{ax}{by}=1$

Du har multiplicerat med x och multiplicerat med y (när du borde ha dividerat med y). Om du gör det, så blir det som du har skrivit, men du får inte fram rätt svar då.

Yngve skrev:

renv skrev: ...

Nu kan jag se att du får svaret a/b = 1, men jag kan inte riktigt förstå hur du multiplicerar båda led med x och dividerar båda led med y. Enligt mig så blir $\frac{a}{b}\times xy = \frac{axy}{b}$. Men du får x i täljaren och y till nämnaren när du multiplicerar ihop dem. Det kan jag inte riktigt förstå.

Ekvatipnen är $\frac{a}{b}=\frac{y}{x}$

Vi tar det steg för steg. Vilket steg är du inte med på?

Steg 1: Multiplicera båda sidor med x:

$\frac{a}{b}\cdot x=\frac{y}{x}\cdot x$

Steg 2: Faktorerna multipliceras upp i täljarna:

$\frac{ax}{b}=\frac{yx}{x}$

Steg 3: Förkorta med x i högerledet:

$\frac{ax}{b}=y$

Steg 4: Dividera båda sidor med y:

$\frac{\frac{ax}{b}}{y}=\frac{y}{y}$

Steg 5: Förkorta med y i högerledet:

$\frac{\frac{ax}{b}}{y}=1$

Steg 6: Använd räkneregel $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$ i vänsterledet:

$\frac{ax}{b}\cdot\frac{1}{y}=1$

Steg 7: Multiplicera ihop bråken i vänsterledet:

$\frac{ax}{by}=1$

 Ja, de stegen kan jag följa. Mer att jag fastnade på steg 1 då jag inte multiplicerade båda sidor med x utan i stället försökte multiplicera bort x från höger led där det är i nämnaren för att få det i vänster led i täljaren. Det var första problemet.

Räkneregeln kan jag och hade förmodligen sett att det var den man skulle använda.

Andra problemet var att jag inte är van vid beräkningar där man delar bort hela höger led för att få det ensamt. Oftast brukar det vara ett värde i vänster led jag ska få ut i höger led. Men jag får ju dock ett värde i den beräkningen som gjorts, vilket blev 1 i höger led.

Ja, de stegen kan jag följa. Mer att jag fastnade på steg 1 då jag inte multiplicerade båda sidor med x utan i stället försökte multiplicera bort x från höger led där det är i nämnaren för att få det i vänster led i täljaren. Det var första problemet.

Kan du förklara vad du menar med detta? 

Smaragdalena skrev:

Ja, de stegen kan jag följa. Mer att jag fastnade på steg 1 då jag inte multiplicerade båda sidor med x utan i stället försökte multiplicera bort x från höger led där det är i nämnaren för att få det i vänster led i täljaren. Det var första problemet.

Kan du förklara vad du menar med detta? 

 För att få nämnaren till vänster led multiplicerar jag med x i högerled. Det vill säga $x\hspace{0.17em}*\hspace{0.17em}\frac{a}{b}=\frac{y}{x}*x ==>\frac{ax}{b}=\frac{yx}{x}.$ Nu kan även jag härleda att enbart y blir kvar i vänster led eftersom x / x = 1.

Nu kan jag fortsätta lösningen. $\frac{ax}{b}=\hspace{0.17em}y \equiv \equiv > \frac{ax}{b}delat med y/1=\hspace{0.17em}\frac{y}{y} ==>$. Kan inte exakt hur man använder MathType och hitta division med flera bråkstreck längs ett vertikalt plan. Men delar jag enligt räkneregeln Yngve skrev, så blir svaret$\frac{ax}{by}= \frac{y}{y}=1$.

Jag förstår fortfarande inte vad det var du tyckte var ett problem. Nu verkar du ha gjort precis rätt, till skillnad från tidigare.

Smaragdalena skrev:

Jag förstår fortfarande inte vad det var du tyckte var ett problem. Nu verkar du ha gjort precis rätt, till skillnad från tidigare.

Om du granskar mitt första försök till lösning längst upp på sidan, så förstår du nog mer om vad mitt dilemma var. Det var att jag multiplicerade båda led med nämnaren. $\frac{a}{b}=\frac{y}{x}=\hspace{0.17em}ax=by$. Ganska svårt att lösa uppgiften om jag börjar med det steget i stället för att multiplicera x i höger led samt vänster led?

Gör jag första steget att jag enbart multiplicerar höger led med x så blir beräkningen så mycket enklare, antar jag. Den går åtminstone att lösa för mig på det sättet. Det vill säga första steg: $\frac{a}{b}=\frac{y}{x}\times x ==>\frac{ax}{b}=y$ självt i höger led och kan divideras till vänster led. Då blir beräkningen korrekt och lösning kan givas till $\frac{ax}{by}$, vilket är lika med $\frac{y}{y}$ = 1.

renv skrev:

 För att få nämnaren till vänster led multiplicerar jag med x i högerled. Det vill säga $x\hspace{0.17em}*\hspace{0.17em}\frac{a}{b}=\frac{y}{x}*x ==>\frac{ax}{b}=\frac{yx}{x}.$ Nu kan även jag härleda att enbart y blir kvar i vänster led eftersom x / x = 1.

Nu kan jag fortsätta lösningen. $\frac{ax}{b}=\hspace{0.17em}y \equiv \equiv > \frac{ax}{b}delat med y/1=\hspace{0.17em}\frac{y}{y} ==>$. Kan inte exakt hur man använder MathType och hitta division med flera bråkstreck längs ett vertikalt plan. Men delar jag enligt räkneregeln Yngve skrev, så blir svaret$\frac{ax}{by}= \frac{y}{y}=1$.

 Oroa dig inte för MathType, du beskrev tillräckligt bra vad det var du skrev.

Du kan annars även använda parenteser för att förtydliga. Om du skriver (ax/b)/(y/1) så är det väldigt tydligt vad som avses.

renv skrev:

Om du granskar mitt första försök till lösning längst upp på sidan, så förstår du nog mer om vad mitt dilemma var. Det var att jag multiplicerade båda led med nämnaren. $\frac{a}{b}=\frac{y}{x}=\hspace{0.17em}ax=by$. Ganska svårt att lösa uppgiften om jag börjar med det steget i stället för att multiplicera x i höger led samt vänster led?

...

 Nej det går alldeles utmärkt att börja så:

Efter första stegen har du att

$ax=by$

Dividera nu bägge sidor med $by$:

$\frac{ax}{by}=\frac{by}{by}$

Förkorta högerledet med $by$:

$\frac{ax}{by}=1$

renv skrev:

Smaragdalena skrev:

Jag förstår fortfarande inte vad det var du tyckte var ett problem. Nu verkar du ha gjort precis rätt, till skillnad från tidigare.

Om du granskar mitt första försök till lösning längst upp på sidan, så förstår du nog mer om vad mitt dilemma var. Det var att jag multiplicerade båda led med nämnaren. $\frac{a}{b}=\frac{y}{x}=\hspace{0.17em}ax=by$. Ganska svårt att lösa uppgiften om jag börjar med det steget i stället för att multiplicera x i höger led samt vänster led? 

...

 Nej, det är bara att dela båda leden med $by$ så är du framme. Men du kan inte använda likhetstecken på det sättet sm du gör - använd en högerpil $\Rightarrow$ istället, eller =>.

Smaragdalena skrev:

renv skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Jag förstår fortfarande inte vad det var du tyckte var ett problem. Nu verkar du ha gjort precis rätt, till skillnad från tidigare.

Om du granskar mitt första försök till lösning längst upp på sidan, så förstår du nog mer om vad mitt dilemma var. Det var att jag multiplicerade båda led med nämnaren. $\frac{a}{b}=\frac{y}{x}=\hspace{0.17em}ax=by$. Ganska svårt att lösa uppgiften om jag börjar med det steget i stället för att multiplicera x i höger led samt vänster led? 

...

 Nej, det är bara att dela båda leden med $by$ så är du framme. Men du kan inte använda likhetstecken på det sättet sm du gör - använd en högerpil $\Rightarrow$ istället, eller =>.

 Nej, jag brukar inte heller göra det. Här blev det helt enkelt ett misstag. Tack för all hjälp allihopa!

Yngve skrev:

renv skrev:

Om du granskar mitt första försök till lösning längst upp på sidan, så förstår du nog mer om vad mitt dilemma var. Det var att jag multiplicerade båda led med nämnaren. $\frac{a}{b}=\frac{y}{x}=\hspace{0.17em}ax=by$. Ganska svårt att lösa uppgiften om jag börjar med det steget i stället för att multiplicera x i höger led samt vänster led?

...

 Nej det går alldeles utmärkt att börja så:

Efter första stegen har du att

$ax=by$

Dividera nu bägge sidor med $by$:

$\frac{ax}{by}=\frac{by}{by}$

Förkorta högerledet med $by$:

$\frac{ax}{by}=1$

 Ja, den lösningen är till och med enklare, anser jag. Att notera att det steget kan göras för att få fram lösningen, gjorde jag däremot inte.

renv skrev:

 Ja, den lösningen är till och med enklare, anser jag. Att notera att det steget kan göras för att få fram lösningen, gjorde jag däremot inte.

Matematik handlar väldigt mycket om att se och känna igen mönster.

Att lära sig nya verktyg och hur de fungerar för att sedan stoppa ner dem i verktygslådan.

Matematisk problemlösningsförmåga handlar om att känna till sin verktygslåda och att veta vilka verktyg är lämpliga i vilka sammanhang.

Jag väljer hellre en skruvmejsel än en hammare för att dra åt en skruv.

Övning ger färdighet.