Omskrivning av differentialekvation (Flervariabel)

$V i s a a t t {\frac{d^{2} f}{d x^{2}}}^{2} + 2 \frac{d^{2} f}{d x d y} + \frac{d^{2} f}{d y^{2}} = x - y = v m e d v a r i a b e l b y t e t \{\begin{cases} u = x + y \\ v = x - y \end{cases} k a n t r a n s f o r m e r a s t i l l \frac{d^{2} f}{d u^{2}} = \frac{v}{4}$

Jag har testat den vanliga väldigt långa approachen d.v.s bestämt derivatorna ovan mha kedjeregeln osv. och visat att det stämmer. Dock såg jag också att man "kan" skriva ekvationen som ${(\frac{d}{d x} + \frac{d}{d y})}^{2} f = v$ .

Med $\frac{d u}{d x} = \frac{d u}{d y} = \frac{d v}{d x} = 1 o c h \frac{d v}{d y} = - 1$ får man:

${(\frac{d}{d x} + \frac{d}{d y})}^{2} f = {(\frac{d}{d u} * \frac{d u}{d x} + \frac{d}{d v} * \frac{d v}{d x} + \frac{d}{d u} * \frac{d u}{d y} + \frac{d}{d v} * \frac{d v}{d y})}^{2} f = (2 * \frac{d}{d u})^{2} f = 4 \frac{d^{2} f}{d u^{2}} = v$

Det ger alltså samma resultat som ovan när man behandlar operatorn som bråk och fakoriserar o.s.v vilket är farligt att göra enligt vad jag förstår. Är detta ok? Vår föreläsare gjorde något snarlikt när hon visade hur man löser vågekvationen men jag är osäker på om det går generellt.

Svara