Omskrivning av areasatsen, förstår inte.

En liksidig triangel har sidor med längden s. Visa att den liksidiga triangels area förändras med en faktor 4 om längden på triangelns sidor går från att vara s till att vara 2s.

Att en triangel är liksidig innebär per definition att dess tre sidor har samma längd och att dess vinklar är lika stora, 60°.

Vi kan beteckna den ursprungliga triangelns area med A1 och den större triangelns area med A2. Att triangelns area ska förändras med en faktor 4 om längden på triangelns sidor förändras från s till 2s innebär att

$A_{2} = 4 A_{1}$

Vi kan bevisa det aktuella påståendet med hjälp av areasatsen. Areasatsen lyder:

$A = \frac{b \cdot c \cdot \sin a}{2}$

där b och c är längden på två av triangelns sidor, och α är storleken på den mellanliggande vinkeln.

Med denna sats kan vi skriva den ursprungliga triangelns area som

$A_{1} = \frac{s \cdot s \cdot \sin 60^{0}}{2} = \frac{s^{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

De fortsätter naturligtvis men det är här det tar stopp för mig... var kommer $\sqrt{3}$ ifrån här i slutet?

$\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt3}2$ . :)

Är det någon slags regel jag missat? Jag menar, hur ska jag själv komma på det om jag försöker bevisa detta?

Sinus för 60 grader är en halv roten ur tre.

Exoth skrev:
Är det någon slags regel jag missat? Jag menar, hur ska jag själv komma på det om jag försöker bevisa detta?

Du kan testa att räkna ut höjden i triangeln mha pythagoras. Du borde då få $h = \frac{s \sqrt{3}}{2}$

Om du nu låter höjden dela din ttriangel i 2 så har varje triangel sidorna s, s/2, h

Sen vet du att $\sin (60) = \frac{m o t s t å e n d e_k a t e t}{h y p o t e n u s a n} = \frac{h}{s} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Detta är en av en handfull vinklar som du har stor nytta av att kunna utantill.
Att titta på en halv liksidig triangel är standard för att få fram sin(60).

Som du märker behöver man inte alls använda areasatsen för att lösa denna uppgift. Eller, uppgiften är ju att använda areasatsen, men areasatsen är inte nödvändig för att bevisa det som skulle bevisas.

$\sin60^o=\frac{\sqrt3}{2}$

Tänk på att du har exakta värden för ett antal standardvinklar för sin cos och tan sist i det formelblad du får använda på NP. http://www5.edusci.umu.se/np/resources/libraries/track.php?file=/np/np-2-4-prov/Formelblad_matematik_3.pdf Det kan vara bra att vänja sig att använda detta.

Exoth skrev:
Är det någon slags regel jag missat? Jag menar, hur ska jag själv komma på det om jag försöker bevisa detta?

Förutom 0° och 90° finns det tre vinklar där det är lätt att räkna ut exakta värden för sin, cos och tan, nämligen 30°, 45° och 60°.

30° och 60° får du från en halv liksidig triangel. Rita en liksidig triangel, till exempel med sidlängden 2 l.e.

Rita en höjd i triangeln. Då har du en halv liksidig triangel. Den är rätvinklig och de andra vinklarna är 30° och 60°. Hypotenusan är 2 l.e. och den korta kateten är 1 l.e. Den långa kateten (dvs höjden) räknar du ut med Pythagoras sats. Sedan kan du ta fram sin, cos och tan 30° och 60°.

45° får du på samma sätt genom att rita en kvadrat med sidan 1 l.e.

Det finns en tabell med sådana värden i sektionen om trigonometri i matteboken.se, Matte 4, så du borde ha fått veta detta, eller får snart göra det.

Laguna skrev:
Det finns en tabell med sådana värden i sektionen om trigonometri i matteboken.se, Matte 4, så du borde ha fått veta detta, eller får snart göra det.

Precis, fann det strax därefter i nästa kapitel :)

Svara

Visa senaste svar