Områdets area

Samt deriverar map x.

EDIT - ser nu att du gjort precis det jag tänkte föreslå.

Blir det rätt att räkna ut det till (4x+2x^2-2x^2+x)/2 = 

(4x+x^2)/2 = 2x+0,5x^2? Och hur går jag vidare sen?

Det skall nog  vara:

(4x-2x2 -2x2 + x3)/2

Detta uttryck skall sen maximeras, börja med att derivera och hitta nollställen. Teckentabell.

Okej, så det blir x-2x^4+0,5x^3när jag förenklat och dividerat med 2? Jag har dyskalkuli så vill bara försäkra mig om att det blir korrekt. 

så jag ska sen ta A’ = -8x^3+ 1,5x^2=0

Du skall derivera men uttrycket för arean är inte korrekt. Jag tar det i nästa post.

A=(2x-x2)*(2-x) /2 =

( 2x*(2-x) - x2*(2-x)  )/2 =

(2x - 2x2 - 2x2 + x3) /2 =

(2x - 4x2 + x3)/2 =

x - 2x2 + x^3/2 

Blir derivatan A’= -4x+ 3/2x^1/5?

Derivatan:

x -> 1

-2x2 -> -4x

(x3) / 2 -> 3(x2) / 2

Tillsammans:

1 - 4x + 3x2 / 2

Nu gäller det att hitta ett nollställe på derivatan i intervaller för x(0 .. 2) och sen konstatera att det är ett max.

Är det (3x^2)/2 eller 3x^2/2 (alltså endast /2 i exponenten?

Sorry, lite otydligt, Jag skriver om sista ledet i A och A’:

A= x-2x^2 + (x^3)/2

A’ = 1 - 4x + 3(x^2)/2

det är alltså bara sista termen i resp uttryck som har /2. 

Tack, då sätter jag A’=0 men hur räknat jag ut det när den sista termen är delat med 2?

För pq skall ju koefficienten för x^2 vara 1.

3/2x^2 - 4x + 1 = 0

multiplicera båda sidor, vl o hl,med 2/3 så städar du bort faktorn framför x^2.

2/3*3/2 x^2 - 2/3 * 4x  + 2/3 * 1 = 2/3 * 0 = 0

Stämmer detta? Nu är jag jätteförvirrad hur går jag vidare? 

Nej, inte helt. A(x) = 2x - 2x² + (x³)/2

Stämmer Jan Ragnar, inser att jag räknade fel ovan.

A= 2x - 2x2 + (x3)/2

A’  = 2 - 4x + 3/2 x^2

Tack, hur räknar jag ut x? 

A’= 0 

3/2 x^2 -4x +2 = 0, multiplicera med 2/3

x^2 - 8/3 x + 4/3 = 0

x = 4/3 +/- roten ur (16/9 - 4/3) = 4/3 +/- roten ur ( 4/9) = 4/3 +/- 2/3 

x1= 6/3=2

x2=2/3

Två lösningar, känns båda rimliga?

Så de är 2/3 och 2 som jag ska gör en teckentabell av?

Kör på hela intervallet, 0-2.

beräkna derivatans tecken och om funktionen är växande eller avtagande i:

0, 2/3, 2.

Ska det inte vara 8/3 i roten ur? Alltså roten ur 16/9-8/3?

Kolla formeln här, verkar det stämma?

https://www.formelsamlingen.se/alla-amnen/matematik/andragradspolynom/pq-formeln

Nej, 0 och 2/3 är de som stämmer. Då gör jag en teckentabell med -1,0,2/3 och 3? Och jag sätter in de i A=2x-2x^2+x^3/2

Om du kollar på diagrammet överst ser du att kurvan skär genom origo och korsar x-axeln för x=2. Däremellan finns ena kateten i triangeln. Verkar det stämma?

Jaa det stämmer väl?

Då behöver du ju bara göra teckentabell mellan 0 och 2. Och däremellan finn ju ett nollställe på derivatan.

Är jag helt fel ute nu?

Nja, men du slarvar för mycket. 

Tittar man lite noggrant på figuren bör man se att den maximala triangelytan dvs A(2/3) är mindre än 8/9 enheter som du har fått som resultat.

Det som efterfrågas i uppgiften är ”Hur stor del av områdets area kan triangelarean högst uppta?”, så ytan under bågen skall då också beräknas för att få fram kvoten.

Hur räknar man den?

Då måste man integrera funktionen 2x - x^2 över området, dvs mellan 0 och 2. Integralen är lika med arean = det slsrvigt gulmarkerade i bilden.

Alltså såhär? 

Eller blir svaret baserat på teckentabellen?

Julialarsson321 skrev:

Alltså såhär? 

Du kan, och bör, alltid alltid kontrollera din primitiva funktion genom att derivera den och se om du då får tillbaka den ursprungliga funktionen.

Om du får det var din primitiva funktion rätt, annars inte. 

=======

Sen har du kastat om gränserna 0 och 2 här:

Juste, så svaret blir istället positivt = 4/3? 

Det är inte det som är felet.

Har du kontrollerat att din primitiva funktion är rätt?

Jag får x^2 till 2x samt (x^3/3) till x^2 men jag antar att det är fel?

Ursprungsfunktionen är 2x-x².

I din uträkning har du skrivit att den primitiva funktionen är x²+x³/3.

Vad får du när du deriverar det?

Är det samma som ursprungsfunktionen?

Jag får det till 2x -3x^2/3 så det blir 2x-x^2

Men derivatan av x²+x³/3 är 2x+x², inte 2x-x².

Håller du med om det?

Jahaa, ja det håller jag med om! Hur gör man för att byta  tecken?

Julialarsson321 skrev:

Jahaa, ja det håller jag med om! Hur gör man för att byta  tecken?

Pröva med den primitiva funktionen x²-x³/3 istället.

Derivera den och jämför resultatet med ursprungsfunktionen.

Om de är öika så har du rätt primitiv funktion och du kan då gå vidare och beräkna integralens värde.

Visa dina uträkningar, det fanns fler fel tidigare.

Nu stämmer arean 4/3 a.e.

Och nu bara en division kvar:

Hur stor del av områdets area kan treangelarean högst uppta? Svara exakt.

Så bra! Hur räknar jag ut det?

Andel = triangelarea/ kurvarea

kurvarea är ju integralen från ovan.

Så kurvarean är 4/3 ae? Hur räknar jag ut triangelarean?

Har du redan gjort ovan, 8/9.

Så svaret är (8/9)/(4/3) = 0,6? Eller hur räknar jag ut det i bråkform?

(8/9 ) / (4/3 ) = 8/9 * 3/4 = (8*3) / (9*4) = 2*3 / 9 = 2/3 . Talet klart.

Tack, så svaret på uppgiften blir 2/3 ae? 
eller är det någon annan enhet?

Ingen enhet eftersom andel. Däremot borde de 8/9 också haft en enhet, ae, de skulle då tagit ut varandra. 

Okej, så endast 2/3?

Den maximala triangelarean är inte 8/9.

Den här uträkningen stämmer inte:

Räkna om igen och skriv ut fler räknesteg på vägen.

Jag testade igen och fick 16/9, stämmer det? 
och blir det isf (16/9)/(4/3)= 4/3 som slutgiltigt svar?

16/9 kan inte stämma då (16/9) > (12/9) = (4/3) = ytan mellan parabeln och x-axeln.

Hur mycket blir det då?

Julialarsson321 skrev:

Hur mycket blir det då?

Beräkna A(2/3) igen.

Skriv ut fler räknesteg på vägen och visa dina uträkningar.

OK bra då ser jag problemet.

Sista termen på första raden ska vara (2/3)³/2, inte 2²/3.

Blev uträckningen rätt nu? 0/9 kan ju inte stämma men vet inte hur jag ska tänk annars

Nej sista termen är fortfarande fel.

Jag tror att du tar för långa tankesteg och försöker förenkla i huvudet innan du skriver på papperet.

• Är du med på att den är $\frac{x^3}{2}$?
• Är du med på att om $x=\frac{2}{3}$ så blir den sista termen $\frac{(\frac{2}{3})^3}{2}$?

Jaa så blir det ju, blir sista termen då (4/9)/2? Och hur gör man för att få bort /2? Kan man endast dela den översta termen?

Inte riktigt:

(2/3)^3 / 2 = (2^3 / 3^3) / 2 = (8  / 27) / 2 = 4/ 27

Stämmer detta?

Allt är rätt utom det sista steget.

Om du sätter termerna på gemensamt bråkstreck så blir det $\frac{36-24+4}{27}$, är du med på det?

Om ja, vad blir då täljaren, dvs vad blir 36-24+4?

16/27?

Och blir det i så fall sen

Ser nu att jag kan förenkla till 1/2

16/27 stämmer. Bra!

och (16/27)/(4/3) stämmer också!

Men dubbelkolla din uträkning därifrån, du har råkat ändra en sak oavsiktligt.

Jag har räknat den flera gånger nu vad var det som blev fel?

Nu visar jag en del av din uträkning.

Hur bör nästa steg se ut:

• Vilka två tal ska multipliceras ihop i täljaren?
• Vilka två tal ska multipliceras ihop i nämnaren?

Titta inte på din tidigare uträkning utan skriv ner det här steget igen på ett papper.

16*3 och 27*4?

Ja, det stämmer.

Ser du skillnaden mot det du skrev i kommentar #71?

Nej de blir väl 48/96?

Blir det verkligen det om du utför beräkningen igen? Titta inte på din tidigare uträkning utan börja om från $\frac{16}{27}\cdot\frac{3}{4}$.

Visa alla steg i uträkningen.

Jag tog endast 16*3 = 48 och sen nämnaren. Men ser nu att jag råkade skriva 24 ist för 27 så blir det 48/108? 
det blir ju då 24/54 = 12/27 = 4/9?

Ja det stämmer.

Så svaret på uppgiften blir 4/9?

Julialarsson321 skrev:

Så svaret på uppgiften blir 4/9?

Ja det stämmer. Bra jobbat!

======

Kommentar: Det kanske är enklare att förenkla bråket $\frac{16\cdot3}{27\cdot4}$ genom att förkorta med 4 och med 3:

Efter förkortning med 4: $\frac{4\cdot3}{27}$

Efter förkortning med 3: $\frac{4}{9}$