Området av en integral
Hej! Hur får de ut området över denna på ett smidigt sätt? Förstår inte riktigt hur man tänker
Det blir tydligare om olikheterna delas med 2:
Tänk nu på gränserna för y. Det största y-värdet är y=3/2, och det minsta är y=x/2. Det är två linjer som du kan rita in i ett koordinatsystem, och du vet att området ligger under y=3/2 och ovanför y=x/2.
Olikheterna säger också att x ska vara minst noll, så vi måste hålla oss till höger om y-axeln. Då har du det ritade området.
Åh tusen tack! Resten av frågan ser ut såhär, hur får vi gränserna i integralen?
Integrationsgränserna anger vilka x- eller y-värden en integral ska gå över.
Börja med yttre integralen: Vilka y-värden är det som används, totalt sett? Jo, det lägsta är 0 och det största är 3/2 = 1.5. Dessa blir därför integrationsgränserna för den yttre.
Den inre är lite knepigare, men inte jättemycket. Nu kan man tänka "för varje y-värde, vad är minsta och största x?". Man kan dra några horisontella exempel-streck genom området på olika höjder, från områdets "vänstraste" kant till dess "högraste" för just den höjden. Alla streck ska alltså börja på x=0 (y-axeln) och sluta på linjen y=x/2.
Så den nedre gränsen blir x=0, inget konstigt (det är det lägsta x-värdet oavsett höjd). Men de slutar ju på olika x-värden. Ja, då får man hitta ett uttryck, en funktion, som beräknar rätt slut-x för varje höjd. Det är lätt gjort när vi har linjens ekvation y = x/2. Lös ut x och få: x = 2y. Detta är x-värdet för en punkt som har höjden y och ligger på den sneda linjen. Det är alltså formeln för det största x-värdet, och därför åker 2y in som övre integrationsgräns.
(Man kan förstås också notera olikheten 0≤x≤2y. Det är inte en slump att det är dessa som blir integrationsgränser, men att bara plocka givna värden och anta att det blir integrationsgränser är ingen bra idé)
