Omordningsolikheten, visa att följande stämmer.

Hej, jag har en uppgift inom principen omordningsolikheten som jag inte riktigt förstår sista steget på. Detta är frågan: "låt a,b och c vara positiva reella tal, visa att: "

$a^{3} b + b^{3} c + c^{3} a \geq a^{2} b c + b^{2} c a + c^{2} a b$

Jag tänker såhär, ändrar man olikheten till:

$(a^{2} a b) + (b^{2} b c) + (c^{2} c a) \geq (a^{2} b c) + (b^{2} c a) + (c^{2} a b)$

samt gör antagandet att: a≤b≤c , så vet man helt säkert att:

$b^{2} : b c \geq c a$

$c^{2} : c a \geq a b$

Men jag hänger inte med på hur man ska motivera att: $a b \geq b c$ .

Tänker jag fel här?

Jag vet inte vad omordningsolikheten är, men om du uttryckligen antagit att $a \leq b \leq c$ borde det väl inte gå att $a b \geq b c$ . Dividerar man båda leden med det positiva reella talet b så står det att $a \geq c$ vilket motsäger din egna förutsättning.

Hej!

Jag vet inte heller vad omordningsolikheten är :-)

Hursomhelst, sådana olikheter är trickigare - det går inte lösa så "enkelt" genom att anta olikheter mellan a, b,c. Symmetrin är för stor, så att säga, och olikheten är för "tight".

Man behöver leta efter "mönster" som pekar på kvadrat uttryck ...

Ett första steg för att börja inse att man behöver "jaga" kvadrater (dvs uttryck i form ${(. . .)}^{2}$ , som man vet är $\geq 0$ ), är att "flytta" hela uttrycket på vänster sida, så att man behöver bevisa at $u t t r y c k \geq 0$

Så, låt oss göra det. Vi får nya olikheten att bevisa:

$a^{3} b + b^{3} c + c^{3} a - a^{2} b c - b^{2} c a - c^{2} a b \geq 0$

Så nu låt oss "jaga" kvadrater. Kom ihåg också att a, b, och c är positiva tal!

Låt oss skriva om uttrycket på vänster sida lite:

$a^{3} b + b^{3} c + c^{3} a - a^{2} b c - b^{2} c a - c^{2} a b = a^{3} b + b^{3} c + c^{3} a - 2 a^{2} b c + a^{2} b c - 2 b^{2} c a + b^{2} c a - 2 c^{2} a b + c^{2} a b$

(jag har använt mig av $- a^{2} b c = - 2 a^{2} b c + a^{2} b c$ , o.s.v)

Nu är vi på rätt väg att hitta kvadraterna. Vi grupperar (genom att byta ordning på termer) om uttrycket lite

$a^{3} b + b^{3} c + c^{3} a - 2 a^{2} b c + a^{2} b c - 2 b^{2} c a + b^{2} c a - 2 c^{2} a b + c^{2} a b = a^{3} b + c^{2} a b - 2 a^{2} b c + b^{3} c + a^{2} b c - 2 b^{2} c a + c^{3} a + b^{2} c a - 2 c^{2} a b$

Uttrycket på höger sida kan man skriva om till:

$a^{3} b + c^{2} a b - 2 a^{2} b c + b^{3} c + a^{2} b c - 2 b^{2} c a + c^{3} a + b^{2} c a - 2 c^{2} a b = a b (a^{2} + c^{2} - 2 a c) + b c (b^{2} + a^{2} - 2 b a) + c a (c^{2} + b^{2} - 2 c b)$

Nu är det bara ett steg till att visa att uttrycket är $\geq 0$

Är du med?

nu fattar jag! tack så mycket för svar

Svara

Visa senaste svar