Omloppstiden T

Vad händer om du räknar på en cirkulär bana?

Dr. G skrev:

Vad händer om du räknar på en cirkulär bana?

Hur menar du? Du menar att arean är A = pi * a^2 ? Det blir ju fel eftersom sektorhastigheten är konstant, vilket i fallet med en ellips ger en snabbare hastighet i perigeum jämfört för apigeum. 

Undersök om det ger ett resultat om gör att du kan avgöra vilken av formlerna som är korrekt.  Om det funkar är det bra, annars kan man behöva räkna på ett krångligare sätt.

Dr. G råder dig att angripa frågan via uteslutningsmetoden eftersom det är en flervalsfråga. Om det var en redovisningsfråga med härledning hade man behövt jämföra med andra ekvationer.

Om formeln ska gälla i det elliptiska fallet så ska den även gälla i det cirkulära fallet eftersom det inte står något i uppgiften om att det inte kan vara en ellips med excentricitet 0 (cirkel). Du kan därmed undersöka vilka av alternativen som skulle gälla för en cirkulär bana  med konstant hastighet v och banradie r.

När du väl uteslutigt de som är omöjliga kan du vid behov göra djupare analys.

Exempelvis så kan inte f) stämma eftersom omloppstiden frö en cirkulär bana skulle vara $2\pi r / v$ och därmed kan man rakt utesluta den. osv.

SeriousCephalopod skrev:

Dr. G råder dig att angripa frågan via uteslutningsmetoden eftersom det är en flervalsfråga. Om det var en redovisningsfråga med härledning hade man behövt jämföra med andra ekvationer.

Om formeln ska gälla i det elliptiska fallet så ska den även gälla i det cirkulära fallet eftersom det inte står något i uppgiften om att det inte kan vara en ellips med excentricitet 0 (cirkel). Du kan därmed undersöka vilka av alternativen som skulle gälla för en cirkulär bana  med konstant hastighet v och banradie r.

När du väl uteslutigt de som är omöjliga kan du vid behov göra djupare analys.

Exempelvis så kan inte f) stämma eftersom omloppstiden frö en cirkulär bana skulle vara $2\pi r / v$ och därmed kan man rakt utesluta den. osv.

Förstår inte riktigt hur man ska kunna bedöma om vardera formel är korrekt eller ej. Genom dimensionsanalys kan ju alternativ c uteslutas men de andra har jag ingen aning om. För en cirkulär bana får man ju hastigheten v^2 = GM/r, men GM är ju inte alls med i något av uttrycken ovan.

Jag vet inte sammanhanget som uppgiften kommer från men den kan i praktiken lösas även med total okunskap om celest mekanik. Kräver i praktiken endast en 1:a-års gymnasists matematik och en högskolestudents träning i uteslutningsmetoden.

För en cirkelrörelse gäller att

$A = \pi r^2$ och $s = 2\pi r$

och det ska även gälla att

$T = 2\pi r/ v$

då farten hos en partikel i likformig cirkelrörelse helt enkelt är cirkelns omkrets delat med omloppstiden.

Sedan går man igenom de olika uttrycken i a), b), c) osv och pluggar in cikreluttrycken för A och s och ser vilka av dem som överensstämmer med periodtiden för en cirkelrörelse i parametrarna utifrån parametrarna r och v.

a) $4 A/ (rv) = 4 (\pi r^2) /(rv) = 4 \pi r / v$

denna stämmer inte eftersom det är en 4:a när det borde vara en 2:a. Stämmer den inte för cirklar så stämmer den inte för ellipser och kan uteslutas.

b) $2 A/ (rv) = 2 (\pi r^2) /(rv) = 2 \pi r / v$

denna stämmer. Detta betyder egentligen inte att formeln stämmer allmänt men om det är den enda av alternativen som skulle visa sig vara möjlig så måste den stämma via uteslutningsmetoden.

c) $4s / (rv) = 4(2\pi r)/(rv) = 8\pi / v$

stämmer inte och går enhetsmässigt inte ihop.

Osv.

Farbrorgul skrev:

För en cirkulär bana får man ju hastigheten v^2 = GM/r, men GM är ju inte alls med i något av uttrycken ovan.

Du har:

$T^2=\dfrac{4\pi^2}{GM}a^3=\dfrac{4\pi^2}{v^2r}a^3$

För en cirkel är $a=r$ och du får:

$T=\dfrac{2\pi r}{v}= \dfrac{2\pi r^2}{r v}$

Vid perigeum är rörelsemängdsmomentet (som bevaras) tydligen

$L=|\mathbf{r}_p\times \mathbf{p}|=rmv=mr_p^2\frac{d\theta}{dt}$

Eftersom differentialgeometri är roligt och vi kan våra polära/elliptiska koordinater som ett rinnande vatten känner vi genast igen $\frac12 r_p^2d\theta$ som differentialelement $dA$

$mrv\,dt=2m\,dA$

Vi förkortar massan och noterar att för en hel tidsperiod $T$ gäller

$rvT=2A$

$T=\frac{2A}{rv}$

Där $A$ är ellipsens totala area.