Omkrets av rektanglar

Kluringforumet är för problem som man tror att andra kan ha kul att lösa. Inte problem som man behöver hjälp med själv. Ungefär som näe man säger: "Här är en gåta: (...)Kan du lista ut svaret?

Vad är rätt svar? Kan du beskriva metoden du använde? Var den systematisk eller kan den göras mer systematisk? "Bättre" lösningar är ofta bara mer polerade versioner av "sämre" lösningar. 

Flyttar din tråd, eftersom den inte är vad vi på Pluggakuten menar med en kluring - en klurig uppgift som du vet svaret på, och som du vill servera till dina medmänniskor för att låta dem lösa ett trevligt problem.

Eftersom jag inte har någon aning om vilken nivå du är på i matte, lägger jag den ungefär i mitten, i Ma1. Du kan flytta tråden till rätt nivå (om jag gissade fel) genom att redigera ditt förstainlägg. /moderator

Står det möjligen i uppgiftstexten att alla sidor skall vara ett helt antal centimeter, eller något sådant? Annars är svaret "oändligt många".

Hej, 

Ja ursäkta för fel placering. Har ingen forum vana alls. 

Vi kan utgå ifrån att svaret skall vara i hela centrimetrar. 

 Vilken mattekurs läser du? 

Gör en tabell med alla tänkbara rektanglar. Det räcker att du börjar på smalaste möjliga och fortsätter tills du kommit till en kvadrat - vet du varför det räcker?

Läser matte 1b, fick dock upp ögonen för denna fråga. Har inget med boken att göra. 

Definitionen av en rektangel: 

En rektangel är en plan geometrisk figur i form av en fyrhörning, där alla fyra hörnens vinklar är räta. Rektangelns motstående sidor är parallella och har samma längd.

Definitionen av en kvadrat: 

En fyrhörning, där alla sidor är lika långa och alla vinklar är räta. 

Rektangelns parallella sidor är räta och lika långa. Men alla fyra sidor behöver ej vara lika långa, så länge det parallella paret är lika långa (och räta) är det en rektangel (självklart med fyra hörn). 

Kvadratens kriterium är att Alla sidor är lika långa och räta. 

Om jag tänker rätt och det du skrev, "Det räcker att du börjar på smalaste möjliga och fortsätter tills du kommit till en kvadrat - vet du varför det räcker?", så finns det oändligt många rektanglar med omkretsen 24 cm för att man tillslut får en kvadrat. Då kvadraten har lika långa sidor (och räta), alltså oändligt många. 

Tänker jag rätt nu? 

Jag hänger inte med på hur du resonerar, så jag kan väl utvekcla lite vad jag menade: För att ta bara ett exempel, så anser jag att en rektangel som är 4cm*8cm är "samma" rektangel som en som är 8cm*4cm, eftersom båda har en sida som är exakt dubbelt så lång som den andra.

Okej, då är jag med på tåget. 

Jag resonerade kring din fråga. Om man ritar upp alla tänkbara kombinationer av rektanglar med omkretsen 24 cm så kommer man tillslut fram till en kvadrat - där alla sidor är lika långa. Alltså har man oändligt många rektanglar. 

Tack!

DinoH skrev:

Okej, då är jag med på tåget. 

 

Jag resonerade kring din fråga. Om man ritar upp alla tänkbara kombinationer av rektanglar med omkretsen 24 cm så kommer man tillslut fram till en kvadrat - där alla sidor är lika långa. Alltså har man oändligt många rektanglar. 

 

Tack!

Har man det om sidorna ska vara ett helt antal cm? 

Tänker du att man bara har oändligt antal rektanglar med omkretsen 24 cm om sidorna även kan vara i annat än hela centimetrar? Om är det hela antal cm så finns det en begränsning? 

Om sidorna kan vara av vilken längd som helst, tycker jag inte att du skall försöka rita upp allihop - du kommer aldrig att bli klar.

Om sidorna bara kan vara ett helt antal cm långa, kan du rita upp alla tänkbara trianglar. Lägg upp en bild här, när du tror att du har hittat alla! Det blir inte vansinnigt många.

Min slutsats är alltså följande: 

• Har vi har en bestämd omkrets på 24 cm och det enbart är rektanglar med hela centimetrar som gäller har vi ett bestämt antal man kan rita. 
• Har vi en bestämd omkrets på 24 cm och sidorna kan vara av vilken längd som helst (alltså inte enbart hela centimetrar) har vi ett oändligt antal rektanglar med omkretsen 24 cm. 

Eller så är svaret att oavsett om det är hela centimetrar eller inte så har vi alltid oändligt antal med rektanglar med omkretsen 24 cm. 

Ang. Bild, 

1. 4x8 cm/8x4 cm. 
2. 6x6 cm/6x6 cm. 
3. 9x6 cm/6x9 cm. 
4. 10x2 cm/2x10 cm. 
5. 11x1 cm/1x11 cm. 
6. 7x5 cm/5x7 cm. 
7. Osv... är ju exempel på olika rektanglar. 

DinoH skrev:

...

Ang. Bild, 

1. 4x8 cm/8x4 cm. 
2. 6x6 cm/6x6 cm. 
3. 9x6 cm/6x9 cm. 
4. 10x2 cm/2x10 cm. 
5. 11x1 cm/1x11 cm. 
6. 7x5 cm/5x7 cm. 
7. Osv... är ju exempel på olika rektanglar. 

Nummer 3 stämmer inte - den har fel omkrets.

Vad menar du med det du skriver på punkt 7.?

Om man bara tar heltals-rektanglarna så är de inte fler än att man kan skriva upp dem. Du har inte hittat alla.

Nummer 3, skrev fel. Det skall självklart stå 9x3 cm. 

Punkt 7. Menade att det finns fler men tar inte upp dem där, och att det därav finns fler. 

Men till min slutsats. Jag kan således härleda till att:

• Har vi har en bestämd omkrets på 24 cm och det enbart är rektanglar med hela centimetrar som gäller har vi ett bestämt antal man kan rita. 
• Har vi en bestämd omkrets på 24 cm och sidorna kan vara av vilken längd som helst (alltså inte enbart hela centimetrar) har vi ett oändligt antal rektanglar med omkretsen 24 cm. 

Vilka finns det mer?

Finner inga fler. Antingen är det alla som finns eller så tänker jag inte utanför "boxen" och har snöat in mig på att det måste finnas ett bestämt antal. Tar vi dock 6x6 cm så blir ju väl svaret där automatisk oändligt många? 

DinoH skrev:

Finner inga fler. Antingen är det alla som finns eller så tänker jag inte utanför "boxen" och har snöat in mig på att det måste finnas ett bestämt antal. Tar vi dock 6x6 cm så blir ju väl svaret där automatisk oändligt många? 

Hur kopplar du ihop 6x6 med oändligt många? 6x6 är en rektangel.

Sidorna kan inte vara något vara någonting annat än 1 cm till 24 cm. Det blir högst 24 olika, inte oändligt många.

Bortse från det jag skrev om 6x6 cm... 

Precis, jag tänker alltså att det finns ett bestämt antal. 

Så tillbaka till ursprungsfrågan: Hur många rektanglar finns det med omkretsen 24 cm?

Så borde svaret vara (antingen punkt 1 eller 2, beroende på hur man tolkar frågan): 

1. Har vi har en bestämd omkrets på 24 cm och det enbart är rektanglar med hela centimetrar som gäller har vi ett bestämt antal rektanglar. 
2. Har vi en bestämd omkrets på 24 cm och sidorna kan vara av vilken längd som helst (alltså inte enbart hela centimetrar) har vi ett oändligt antal rektanglar med omkretsen 24 cm. 

Svaret på "hur många" borde vara ett bestämt antal.

Ja!

Problemet är dock att det i facit står "oändligt många"...

Hej DinoH!

Uppgiften handlar om att bestämma det som du kallar "ett bestämt antal rektanglar"; det räcker inte att säga att det finns ett bestämt antal rektanglar med heltalssidor vars omkrets är 24 centimeter.

Om rektangelns bas är $b$ centimeter och rektangelns höjd är $h$ centimeter så ges rektangelns omkrets av formeln

    $b+b+h+h = 2(b+h).$

För att denna ska vara $24$ centimeter måste bas och höjd uppfylla sambandet

    $b+h=12.$

Hur många par av (positiva) heltal $(b, h)$ har en summa som är lika med $12$?

DinoH skrev:

Ja!

Problemet är dock att det i facit står "oändligt många"...

I så fall hade man inte med restriktionen att sidorna skulle ha heltalslängd i uppgiften. Att svaret är "oändligt många" om sidorna kan ha värden som motsvarar t ex bråk trodde jag att vi hade kommit fram till för länge sedan.

Om bas ($b$) och höjd ($h$) inte behöver vara heltal blir frågan 

Hur många par av positiva tal $(b,h)$ har en summa som är lika med $12$?

DinoH skrev:

Ja!

Problemet är dock att det i facit står "oändligt många"...

Eftersom det står i facit "oändligt många" så menar författaren
av matteuppgiften att sidornas längder inte måste vara heltal.

Och så är det ju då, liksom att det t.ex. finns oändligt många tal mellan  2  och  3.

--------------------------------------------------------------------------------

Men om villkoret hade varit att sidornas längder skulle varit heltal
så blir det dessa sex rektanglar:
1 x 11   2x10   3x9   4x8   5x7   6x6