Omkrets

Av alla tänkbara rektanglar, menar du? Därför att den är mest lik en cirkel. En cirkel har den största arean av alla tänkbara geometriska former med samma omkrets.

Arean av en rektangel är $A0a\cdot$. Omkretsen för en rektangel kan skrivas som $O=2a+2b$. Det kan man skriva om till att $b=\frac{O}{2}-a$, och då får man att $A=a(\frac{O}{2}-a)$. När (eller om) du läser Ma2 kommer du att lära dig att hitta att maximivärdet för arean är när båda sidorna är lika långa, d v s när rektangeln är enkvadrat.

Jag förstår  inte din uträkning går det att förklara lite enklare :)

Då kan du nöja dig med den första delen:

Av alla tänkbara rektanglar, menar du? Därför att den är mest lik en cirkel. En cirkel har den största arean av alla tänkbara geometriska former med samma omkrets.

Resten kan du förstå när du läser Ma2.

Här är ett försök att förklara på Ma1-nivå. Titta på bilden när du läser förklaringen.

Tänk dig en rektangel där den kortaste sidan kallas a. Sedan klipper man av rektangeln så man får en kvadrat med sidan a och en bit som "blir över". Biten som blir över delar man i två  lika stora delar (en grön och en gul). Kortsidan på de små bitarna kallar man x.

Nu går det att skriva ett uttryck för rektangelns omkrets med a och x:

Rektangelns omkrets$=a+a+a+x+x+a+x+x=4a+4x$

Sedan kan man flytta den gröna biten så jag får en ny figur (längst ned till vänster). Den nya figuren ser ut som en kvadrat med ett "bortskuret hörn". Sidornas längd blir a+x (förutom det bortskurna hörnet). Bredvid den ritar man en hel kvadrat med sidlängden a+x. Om man ställer upp ett uttryck för den hela kvadratens omkrets blir det:

Kvadratens omkrets$=4(a+x)=4a+4x$

Nu ser du att rektangeln och kvadraten har samma omkrets. Men rektangelns area är ju som kvadratens area minus ett bortskuret hörn. Alltså är rektangeln mindre än kvadraten, fast de har exakt samma omkrets!

Så här kan man göra med alla rektanglar, och alltså har vi bevisat att en rektangel alltid har mindre area än en kvadrat om båda har samma omkrets!

Stort tack