Omfångsrikt problem: Sin egen derivata
Hej!
Har fastnat på sista frågan här. Någon som kan ge mig en hjälpande hand? Uppgift 26d alltså. Jag har ju visat att f’(x) = f(x)
Detta ger differentialekvationen y’=y. Med lösning för homogena differentialekvationer fås då att y = Ce^x
Frågan är ifall det räcker...?
Vad är det vi ska visa och vad får vi utgå från?
Den i texten givna potensserien är Mc Laurinutvecklingen av e(upphöjt till) x.
Vi går till din huvudfråga: Räcker det att hänvisa till metoderna för att bestämma allmän lösning till homogena diff ekv.? Eftersom det är en gymnasiefråga så - definitivt ja. Förutsatt att du utgått från den givna potensserien för att komma fram till att f´(x)=f(x).
I ett universitetsperspektiv kunde man kanske fråga sig om det kan finnas ngn fkn som INTE är en potensserie som skulle kunna ha samma egenskap (dvs vara fixpunkt under derivationsoperatorn). Svaret torde bli detsamma, ty f´ är ju lika med den deriverbara funktionen f. Alltså är f´ deriverbar. Men då blir också f´´ deriverbar på samma sätt. Dvs funktionen har derivator av alla ordningar. Det ger grunden för en MacLaurin-serie som konvergerar likformigt och absolut mot f på alla kompakta delmängder av R och vi är tillbaka på ursprungssituationen.
