omfångsrika problem

Det var ett tag sen jag sist jobbade med sådana här uppgifter. Om jag tänkt fel kommer någon säkert poängtera vad för något.

Vatten i urna= inflöde - utflöde

vatten i urna= v(t)

v(0)= 20

inflöde= i(t)

i'(t)= -0,15

utflöde= u(t)

u'(t)= a*v(t)

20 liter har passerat då ${\int }_0^{t}u\left(t\right)dt=20$... jag återkommer till detta.

v(t)=i(t)-u(t)

v'(t)=i'(t)-u'(t)=-0,15-a*v(t)

v'(t)+a*v(t)= -0,15

Första ordningens homogena ger v(t)= C*e^-at + D, konstanten i högerledet visar det sig att man kan kompensera för så småningom

v'(t)= -a*C*e^-at

v'(t)+a*v(t)= -a*C*e^-at + a*C*e^-at + a*D = a*D = -0,15

v(0)= 20 ger C+D= 20

$$\begin{gathered} {\int }_0^{t}u\left(t\right)dt={\int }_0^{t}a*v\left(t\right)dt={\int }_0^{t}a*C*e^{-at}+a*Ddt= \\ {[-C*e^{-at}+a*D*t]}^t=-C*e^{-at}+a*D*t-(-C*e^{-a0}+a*D*0)= \\ -C*e^{-at}+a*D*t+C=20 \end{gathered}$$

Och där förde jag in den nya variabeln t utan att tillföra något. Längre än så här kom jag inte.

tack!! skrev lite fel innan, startvolymen är mellan 1 och 20 L så den ska också bestämmas

Kan det inte vara så att man får två diffekvationer, där en beskriver mängden vatten in och den andra ut, om man låter V(t) beskriva volymen vatten som funktion av tid i minut så kanske man får följande:

$\frac{dV}{dt}=-0.15t$ eftersom att det minskar med 15% per tidsenhet (minut)?

Och sedan diffekvationen för ut:

$\frac{dV}{dt}=kV$där k är en konstant, och V eftersom att förändringshastigheten är proportionell till sig själv.

Det är även möjligt att det bara krävs en diffekvation som beskriver in och ut. Men om det tidigare är rätt så borde det vara ganska lätt då båda är separabla.

Jag tänkte att V'(t) = IN - UT = k*0,85^t - a*v(t)

Kan det stämma? och hur får man in startvolymen i funktionen eftersom den inte är bestämd?

hejj123 skrev:

Jag tänkte att V'(t) = IN - UT = k*0,85^t - a*v(t)

Kan det stämma? och hur får man in startvolymen i funktionen eftersom den inte är bestämd?

Jag tycker att din egen gissning kanske är den bästa hittills. (Det där med att utflödet minskar med 15% per minut kan ju tolkas på flera sätt. 15% av vad, 15% av ursprungsflödet eller 15% av flödet minuten innan?)

Vad går egentligen uppgiften ut på? Att problemet kallas "omfångsrikt" tolkar jag som att det kanske inte finns ett, utan kanske flera (eller kanske inget alls?), svar på uppgiften. Och att man ska försöka undersöka vad som händer mer kvalitativt snarare än kvantitativt. Det blir ju väldigt många obekanta, som man omöjligtvis(?) exakt kan bestämma med de grunddata som ges i uppgiften. Uppgifttexten indikerar ju också att det är oklart ifall överhuvudtaget vattenmängden i urnan kan återgå till den ursprungliga med mindre än att vattenmängden i urnan är konstant (dvs utflöde=inflöde vid alla tidpunkter).  

Men jag kan ha helt fel i min tolkning och mina slutsatser...

Tex så är dina obekanta k och a. Du får ju ytterligare en obekant i differentialekvationens allmänna lösning. Och man får ingen vidare hjälp av att startvillkoret (t=0), eftersom det är väldigt ospecificerat. Däremot borde man ju kunna använda sig av informationen att man vet att både totala inflödet och totala utflödet ska vara 20l vid någon tidpunkt (speciellt inflödet, eftersom det är oberoende av utflödet. Utflödet däremot är ju beroende av inflödet och därmed klurigare att räkna på).