Omfångsrika problem

WilmaB skrev:

Vi håller på med omfångsrika problem i skolan och jag har helt fastnat på denna uppgift. Jag förstår att jag måste ställa upp en integral men vet inte hur den ska se ut. Jag kan inte få fram hur jag ska ställe upp ett uttryck för hur många som bor i en cirkelring. Hoppas någon kan hjälpa mig.

I en befolkningsmodell för en stor stad kan befolkningstätheten x km från centrum approximeras med funktionen , där y är antalet människor per kvadratkilometer.

a)      Uppskatta hur många människor som bor inom en radie av 5 km från centrum.

b)      Hur många människor bor mellan 5 och 10 km från centrum?

Metoden du kan använda är följande:

Teckna först ett uttryck för hur många människor som bor i en cirkelring med ”tjockleken” Δx km, x km från centrum. Teckna sedan en summa för alla dessa ”cirkelringar” mellan 0 och 5 kilometer.

Låt därefter Δx       0. Summan övergår då i en integral.

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Det saknas en del information i din fråga, kanske är det formler och matematiska symboler som har trillat bort. Kan du lägga upp en bild?

Om cirkelringen och hur många människor som bor i den: Befolkningstätheten y beror på avståndet från centrum x.

Om du gör en cirkelring tillräckligt tunn så kommer befolkningstätheten y att vara konstant i denna cirkelring.

Antalet människor som bor i denna cirkelring är då befolkningstätheten y (personer/km^2) multiplicerat med ringens yta i km^2.

Vi tänker oss en sådan ring med tjocklek dx på avståndet x från centrum:

• Hur stor radie har den?
• Hur stor omkrets?
• Hur stor yta?

WilmaB skrev:

I en befolkningsmodell för en stor stad kan befolkningstätheten x km från centrum approximeras med funktionen , där y är antalet människor per kvadratkilometer.

 Vad är funktionen? Det är ju en ganska essentiell del av frågan :-)

I alla fall, angående uttrycket så hjälper det att rita upp:

Vi vill ju ha den gråa arean. Hur kan du få fram den?

Y=95000/(x^(2 )+10x+16), y är antalet människor per kvadratkilometer.

Om du inte vet hur funktionen $y$ ser ut är det inte möjligt att lösa uppgiften.

AlvinB skrev:

Om du inte vet hur funktionen $y$ ser ut är det inte möjligt att lösa uppgiften.

 funktionen är Y=95000/(x^(2 )+10x+16) missade att få med den först.

Ja då går det.

Kom du fram till något uttryck för arean på cirkelskivan med tjocklek $\Delta x$?

Eftersom $\Delta x \rightarrow 0$ kan man som Yngve sa mena att befolkningstätheten kommer vara konstant på den pyttelilla skivan, och därför kan man multiplicera funktionen $y$ med arean för att få befolkningen på skivan.

WilmaB skrev:

AlvinB skrev:

Om du inte vet hur funktionen $y$ ser ut är det inte möjligt att lösa uppgiften.

 funktionen är Y=95000/(x^(2 )+10x+16) missade att få med den först.

OK bra. Läs nu svaren från mig och AlvinB igen.

Förstår du hur du kan räkna ut antalet människor som bor i en väldigt tunn ring (med tjocklek dx) på avståndet x från centrum?

AlvinB skrev:

Ja då går det.

Kom du fram till något uttryck för arean på cirkelskivan med tjocklek $\Delta x$?

Eftersom $\Delta x \rightarrow 0$ kan man som Yngve sa mena att befolkningstätheten kommer vara konstant på den pyttelilla skivan, och därför kan man multiplicera funktionen $y$ med arean för att få befolkningen på skivan.

 Nej förstår fortfarande inte hur jag ska ställa upp uttrycket.

Yngve skrev:

WilmaB skrev:

Visa föregående citat

AlvinB skrev:

Om du inte vet hur funktionen $y$ ser ut är det inte möjligt att lösa uppgiften.

 funktionen är Y=95000/(x^(2 )+10x+16) missade att få med den först.

OK bra. Läs nu svaren från mig och AlvinB igen.

Förstår du hur du kan räkna ut antalet människor som bor i en väldigt tunn ring (med tjocklek dx) på avståndet x från centrum?

 Nej tyvärr inte.

WilmaB skrev:

 Nej tyvärr inte.

Jag tror att du försöker försyå för stora delar åt gången. Vi bör nog dela upp det hela i mindre delar och börjar med ett enklare exempel för att visa grundprincipen med befolkningstäthet, area och antal människor på en given yta:

---------

I en rektangulär gräsmatta som är 10 meter bred och 20 meter lång växer det maskrosor.

Maskrostätheten är 8 maskrosor per kvadratmeter.

Hur många maskrosor växer det i gräsmattan?

Arean kan ju ses som skillnaden mellan två cirklar. En med radien $x+\Delta x$ och en med $x$. Hur får du då arean mellan dem?

Yngve skrev:

WilmaB skrev:

 Nej tyvärr inte.

Jag tror att du försöker försyå för stora delar åt gången. Vi bör nog dela upp det hela i mindre delar och börjar med ett enklare exempel för att visa grundprincipen med befolkningstäthet, area och antal människor på en given yta:

---------

I en rektangulär gräsmatta som är 10 meter bred och 20 meter lång växer det maskrosor.

Maskrostätheten är 8 maskrosor per kvadratmeter.

Hur många maskrosor växer det i gräsmattan?

 Ja jag förstår men vet inte hur jag ska få fram arean av cirkelringen. Hur jag ska ställa upp ett uttryck som jag kan göra om till en integral.

AlvinB skrev:

Arean kan ju ses som skillnaden mellan två cirklar. En med radien $x+\Delta x$ och en med $x$. Hur får du då arean mellan dem?

 Nu förstår jag inte alls.

WilmaB skrev:

Yngve skrev:

Visa föregående citat

WilmaB skrev:

Visa föregående citat

 Nej tyvärr inte.

Jag tror att du försöker försyå för stora delar åt gången. Vi bör nog dela upp det hela i mindre delar och börjar med ett enklare exempel för att visa grundprincipen med befolkningstäthet, area och antal människor på en given yta:

---------

I en rektangulär gräsmatta som är 10 meter bred och 20 meter lång växer det maskrosor.

Maskrostätheten är 8 maskrosor per kvadratmeter.

Hur många maskrosor växer det i gräsmattan?

 Ja jag förstår men vet inte hur jag ska få fram arean av cirkelringen. Hur jag ska ställa upp ett uttryck som jag kan göra om till en integral.

Klipp upp cirkelringen och räta ut den.

Den får då formen av en rektangel.

Vad har denna rektangel för längd och bredd?

Yngve skrev:

WilmaB skrev:

Visa föregående citat

Yngve skrev:

WilmaB skrev:

 Nej tyvärr inte.

Jag tror att du försöker försyå för stora delar åt gången. Vi bör nog dela upp det hela i mindre delar och börjar med ett enklare exempel för att visa grundprincipen med befolkningstäthet, area och antal människor på en given yta:

---------

I en rektangulär gräsmatta som är 10 meter bred och 20 meter lång växer det maskrosor.

Maskrostätheten är 8 maskrosor per kvadratmeter.

Hur många maskrosor växer det i gräsmattan?

 Ja jag förstår men vet inte hur jag ska få fram arean av cirkelringen. Hur jag ska ställa upp ett uttryck som jag kan göra om till en integral.

Klipp upp cirkelringen och räta ut den.

Den får då formen av en rektangel.

Vad har denna rektangel för längd och bredd?

 Hur ska jag veta längden och bredden? Det jag inte fattar.

WilmaB skrev:

Yngve skrev:

Visa föregående citat

WilmaB skrev:

Yngve skrev:

Visa föregående citat

WilmaB skrev:

Visa föregående citat

 Nej tyvärr inte.

Jag tror att du försöker försyå för stora delar åt gången. Vi bör nog dela upp det hela i mindre delar och börjar med ett enklare exempel för att visa grundprincipen med befolkningstäthet, area och antal människor på en given yta:

---------

I en rektangulär gräsmatta som är 10 meter bred och 20 meter lång växer det maskrosor.

Maskrostätheten är 8 maskrosor per kvadratmeter.

Hur många maskrosor växer det i gräsmattan?

 Ja jag förstår men vet inte hur jag ska få fram arean av cirkelringen. Hur jag ska ställa upp ett uttryck som jag kan göra om till en integral.

Klipp upp cirkelringen och räta ut den.

Den får då formen av en rektangel.

Vad har denna rektangel för längd och bredd?

 Hur ska jag veta längden och bredden? Det jag inte fattar.

Längden är lika med omkretsen och bredden är lika med dx.

Yngve skrev:

WilmaB skrev:

Visa föregående citat

Yngve skrev:

WilmaB skrev:

Visa föregående citat

Yngve skrev:

WilmaB skrev:

 Nej tyvärr inte.

Jag tror att du försöker försyå för stora delar åt gången. Vi bör nog dela upp det hela i mindre delar och börjar med ett enklare exempel för att visa grundprincipen med befolkningstäthet, area och antal människor på en given yta:

---------

I en rektangulär gräsmatta som är 10 meter bred och 20 meter lång växer det maskrosor.

Maskrostätheten är 8 maskrosor per kvadratmeter.

Hur många maskrosor växer det i gräsmattan?

 Ja jag förstår men vet inte hur jag ska få fram arean av cirkelringen. Hur jag ska ställa upp ett uttryck som jag kan göra om till en integral.

Klipp upp cirkelringen och räta ut den.

Den får då formen av en rektangel.

Vad har denna rektangel för längd och bredd?

 Hur ska jag veta längden och bredden? Det jag inte fattar.

Längden är lika med omkretsen och bredden är lika med dx.

 omkretsen blir väl då 2π5= ca 31,4 då jag ska uppskatta hur många som bor inom en radie av 5 km från centrum. Eller tänker jag helt fel. Men vad blir dx?

WilmaB skrev:

Yngve skrev:

Visa föregående citat

WilmaB skrev:

Yngve skrev:

Visa föregående citat

WilmaB skrev:

Yngve skrev:

Visa föregående citat

WilmaB skrev:

Visa föregående citat

 Nej tyvärr inte.

Jag tror att du försöker försyå för stora delar åt gången. Vi bör nog dela upp det hela i mindre delar och börjar med ett enklare exempel för att visa grundprincipen med befolkningstäthet, area och antal människor på en given yta:

---------

I en rektangulär gräsmatta som är 10 meter bred och 20 meter lång växer det maskrosor.

Maskrostätheten är 8 maskrosor per kvadratmeter.

Hur många maskrosor växer det i gräsmattan?

 Ja jag förstår men vet inte hur jag ska få fram arean av cirkelringen. Hur jag ska ställa upp ett uttryck som jag kan göra om till en integral.

Klipp upp cirkelringen och räta ut den.

Den får då formen av en rektangel.

Vad har denna rektangel för längd och bredd?

 Hur ska jag veta längden och bredden? Det jag inte fattar.

Längden är lika med omkretsen och bredden är lika med dx.

 omkretsen blir väl då 2π5= ca 31,4 då jag ska uppskatta hur många som bor inom en radie av 5 km från centrum. Eller tänker jag helt fel. Men vad blir dx?

 kan man skriva uttrycker som 95000/(x^(2 )+10x+16)·2πx dx eller är det helt fel tänkt?

WilmaB skrev:

 omkretsen blir väl då 2π5= ca 31,4 då jag ska uppskatta hur många som bor inom en radie av 5 km från centrum. Eller tänker jag helt fel. Men vad blir dx?

En cirkelring på avstånd x km från centrum har en omkrets som är $2\pi x$ km

Om denna cirkelring har en tjocklek som är dx km så har ringen arean $2\pi x\cdot dx$ km^2.

Eftersom befolkningstätheten på avståndet $x$ km från centrum är $y=\frac{95000}{x^2+10x+16}$ personer/km^2 så bor det $2\pi x\cdot \frac{95000}{x^2+10x+16} dx$ personer i denna ring.

För att få fram totala antalet boende inom radien 5 km från centrum kan du nu summera bidragen från alla dessa ringar från x = 0 km till x = 5 km. Då dx går mot 0 blir detta en integral.

Är du med så långt?

WilmaB skrev:

 kan man skriva uttrycker som 95000/(x^(2 )+10x+16)·2πx dx eller är det helt fel tänkt?

Ja det stämmer.

Men det är viktigt att du förstår resonemanget som leder fram till det uttrycket.

Yngve skrev:

WilmaB skrev:

 kan man skriva uttrycker som 95000/(x^(2 )+10x+16)·2πx dx eller är det helt fel tänkt?

Ja det stämmer.

Men det är viktigt att du förstår resonemanget som leder fram till det uttrycket.

 Japp jag förstår varför det blir så tack.

Yngve skrev:

WilmaB skrev:

 omkretsen blir väl då 2π5= ca 31,4 då jag ska uppskatta hur många som bor inom en radie av 5 km från centrum. Eller tänker jag helt fel. Men vad blir dx?

En cirkelring på avstånd x km från centrum har en omkrets som är $2\pi x$ km

Om denna cirkelring har en tjocklek som är dx km så har ringen arean $2\pi x\cdot dx$ km^2.

Eftersom befolkningstätheten på avståndet $x$ km från centrum är $y=\frac{95000}{x^2+10x+16}$ personer/km^2 så bor det $2\pi x\cdot \frac{95000}{x^2+10x+16} dx$ personer i denna ring.

För att få fram totala antalet boende inom radien 5 km från centrum kan du nu summera bidragen från alla dessa ringar från x = 0 km till x = 5 km. Då dx går mot 0 blir detta en integral.

Är du med så långt?

 Har fått problem igen hur ska jag summera bidragen från ringarna och göra det till en integral?

WilmaB skrev:

 Har fått problem igen hur ska jag summera bidragen från ringarna och göra det till en integral?

Du kan partialbråksuppdela funktionsuttrycket $\frac{x}{x^2+10x+16}$ så att du får två enklare termer att integrera.

Yngve skrev:

WilmaB skrev:

 Har fått problem igen hur ska jag summera bidragen från ringarna och göra det till en integral?

Du kan partialbråksuppdela funktionsuttrycket $\frac{x}{x^2+10x+16}$ så att du får två enklare termer att integrera.

 Vänta hur blir det så?

WilmaB skrev:

 Vänta hur blir det så?

 $y\left(x\right)=2\pi x·\frac{95000}{x^2+10x+16}=190000\pi ·\frac{x}{x^2+10x+16}$

Yngve skrev:

WilmaB skrev:

 Vänta hur blir det så?

 $y\left(x\right)=2\pi x·\frac{95000}{x^2+10x+16}=190000\pi ·\frac{x}{x^2+10x+16}$

 Men vad blir sen nästa steg för att göra det till en integral hur blir den primitiva funktionen?

Yngve skrev nästa steg för två timmar sedan - partialbråksuppdela.

WilmaB skrev:

Yngve skrev:

Visa föregående citat

WilmaB skrev:

 Vänta hur blir det så?

 $y\left(x\right)=2\pi x·\frac{95000}{x^2+10x+16}=190000\pi ·\frac{x}{x^2+10x+16}$

 Men vad blir sen nästa steg för att göra det till en integral hur blir den primitiva funktionen?

Jag vet bara ett sätt att beräkna integralen och det är med hjälp av partialbråksuppdelning.

Jag tror inte att det ingår i gymnasiematte alls så du kan få en liten hjälp på traven här. Läs mer på den sida jag länkade till tidigare.

Att partialbråksuppdela $\frac{x}{x^2+10x+16}$ går till på detta vis:

1. Faktorisera nämnaren: $x^2+19x+16=(x+2)(x+8)$. Det betyder att bråket kan skrivas $\frac{x}{(x+2)(x+8)}$.
2. Hitta värden på A och B sådana att $\frac{x}{(x+2)(x+8)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+8}$.
3. Nu har du delat upp bråket i två termer där varje term endast har ett beroende till x i nämnaren. Dessa termer är enkla att integrera.

Men vad blir A och B vid uträkningen: $\frac{95000}{x^2+10x+16}=\frac{A}{(x+2)}+\frac{B}{(x+8)}$

Det blir ju: $95000=A(x+8)+B(x+2)$. Hur går jag vidare? Jag får konstant fel värden på A och B.

Mirkish187 skrev:

Men vad blir A och B vid uträkningen: $\frac{95000}{x^2+10x+16}=\frac{A}{(x+2)}+\frac{B}{(x+8)}$

Det blir ju: $95000=A(x+8)+B(x+2)$. Hur går jag vidare? Jag får konstant fel värden på A och B.

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Bråket som du vill partialbråksuppdela är $\frac{x}{x^2+10x+16}$, inte $\frac{95000}{x^2+10x+16}$

Ekvationen är alltså

$\frac{x}{x^2+10x+16}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+8}$

Om du nu multiplicerar hela ekvationen dels med $(x+2)$, dels med $(x+8)$ och sedan förenklar så får du

$x=A(x+8)+B(x+2)$

Kommer du vidare då?