Om u⋅v = u⋅w då v = w

Hur lyder hela frågan?

Laguna skrev:

Hur lyder hela frågan?

Anta att u ⋅ v = u ⋅ w för alla vektorer u . Kan vi ur det dra slutsatsen att v och w är lika? Om ja, så varför då? Om nej, så exakt vilka slutsatser kan vi dra om hur v och w ser ut?

Det är "för alla" som är viktigt.

Laguna skrev:

Det är "för alla" som är viktigt.

Då måste v och w vara lika med varandra annars blir värdet på skalärprodukterna olika.

Försök att se vad som händer rent geometriskt. 

En variant är att skriva ekvationen 

$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}-\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}=0$

använd räkneregel för skalärprodukt:

$\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}-\mathbf{w})=0$

Vad kan du dra för slutsats när skalärprodukten mellan u och (v - w) är 0?

Dr. G skrev:

Försök att se vad som händer rent geometriskt. 

En variant är att skriva ekvationen 

$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}-\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}=0$

använd räkneregel för skalärprodukt:

$\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}-\mathbf{w})=0$

Vad kan du dra för slutsats när skalärprodukten mellan u och (v - w) är 0?

Antingen u är lika med noll eller v = w

Nej, det finns även andra möjligheter.

Se ditt eget exempel ovan. 

Dr. G skrev:

Nej, det finns även andra möjligheter.

Se ditt eget exempel ovan. 

(v - w) måste vara vinkelrät mot u för att skalärprodukten av dem ska bli lika med noll.

Det finns andra möjligheter också men då blir inte v - w = 0

Marx skrev:

(v - w) måste vara vinkelrät mot u för att skalärprodukten av dem ska bli lika med noll.

Ja, precis. Det är kravet på v och w för att likheten ska uppfyllas. 

Det finns andra möjligheter också men då blir inte v - w = 0

Vilka andra möjligheter finns, menar du?

Vilken vektor är ”vinkelrät” mot ALLA vektorer inklusive sig själv?

Tomten skrev:

Vilken vektor är ”vinkelrät” mot ALLA vektorer inklusive sig själv?

Nollvektorn

Dr. G skrev:

Det finns andra möjligheter också men då blir inte v - w = 0

Vilka andra möjligheter finns, menar du?

Där $v-w\ne 0$

Jag läste frågan fel och trodde u var en fix vektor. 

Om u är godtycklig så måste (v - w) vara nollvektorn, så v = w. 

Ja, eftersom vi då kan välja u=v-w och få 0=u•(v-w)=(v-w)•(v-w)=||v-w|| i kvadrat. Om normen av en vektor = 0 så måste vektorn vara noll. Alltså v-w=0.