Om T(x) = kx, hur kommer det sig att T*(x) = konjugatet(k)x?

Du får berätta lite mer för oss! Vad är $T$ , och vad betyder $T^*$ ?

En tänkbar tolkning är att vi har en matris $T\in\mathbb{C}^{n\times n}$ , att $T^*$ är det konjugerade transponatet av $T$ , och att vi har $T\boldsymbol{x}=k\boldsymbol{x}$ för någon skalär $k\in\mathbb{C}$ och någon vektor $\boldsymbol{x}\in\mathbb{C}$ .

Då kan vi inte generellt dra slutsatsen att $T^*\boldsymbol{x}=\bar{k}\boldsymbol{x}$ gäller. Om vi till exempel väljer

$T=\begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 1\end{pmatrix}$ och $\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ ,

så är det enkelt att verifiera att den påstådda implikationen inte gäller. Kontrollera gärna själv, och kolla sedan om du håller med om mina beräkningar!

Visa spoiler

Vi får $T\boldsymbol{x}=1\boldsymbol{x}$ , men $T^*=\begin{pmatrix}1 & 0\\1 & 1\end{pmatrix}$ vilket ger $T^*\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}\neq 1\boldsymbol{x}$ .

En annan tänkbar tolkning är att $T^*$ bara står för konjugatet av $T$ , men inte heller då kan vi generellt dra slutsatsen $T^*\boldsymbol{x}=\bar{k}\boldsymbol{x}$ . Till exempel skulle

$T=\begin{pmatrix}1+i & 0\\1&0\end{pmatrix}$ och $\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}1+i\\1\end{pmatrix}$

fungera som motexempel. Återigen: kontrolräkna själv, och se om du får samma sak som jag.

Visa spoiler

Vi får $T\boldsymbol{x}=(1+i)\boldsymbol{x}$ , men $T^*=\begin{pmatrix}1-i & 0\\1&0\end{pmatrix}$ , vilket ger $T^*\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}2\\1+i\end{pmatrix}\neq {(1-i)}\boldsymbol{x}$ .

Kan detta vara något?

https://math.stackexchange.com/questions/1431546/eigenvalues-of-adjoint-operator-general-case/1431601

Svara