Om t = tan(x/2) så är 2t/(1+t^2) lika med?

$t = \tan \frac{x}{2} \sin^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{1 - \cos (x)}{2} \cos^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{1 + \cos (x)}{2} 2 t = 2 \sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}} 1 + t^{2} = 1 + \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = \frac{2}{1 + \cos (x)} \frac{2 t}{1 + t^{2}} = \frac{2 \sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}}}{\frac{2}{1 + \cos (x)}} = \sqrt{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} = \sqrt{1 - \cos^{2} (x)} = | \sin x |$

Alltså är d rätt, men enligt facit är b rätt ändå, hur?

$\tan^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} = \frac{1 - \cos^{2} x}{{(1 + \cos x)}^{2}} = \frac{\sin^{2} x}{{(1 + \cos x)}^{2}} \Rightarrow \tan \frac{x}{2} = \pm \frac{\sin x}{1 + \cos x} T e c k e n s t u d i u m : 0 \leq x \leq π \Rightarrow \tan \frac{x}{2} \geq 0, sinx \geq 0 π \leq x \leq 2 π \Rightarrow \tan \frac{x}{2} \leq 0, sinx \leq 0 Alltså har \tan \frac{x}{2} och sinx samma tecken . Alltså är \tan \frac{x}{2} = \frac{sinx}{1 + cosx}$

henrikus skrev:
$\tan^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} = \frac{1 - \cos^{2} x}{{(1 + \cos x)}^{2}} = \frac{\sin^{2} x}{{(1 + \cos x)}^{2}} \Rightarrow \tan \frac{x}{2} = \pm \frac{\sin x}{1 + \cos x} T e c k e n s t u d i u m : 0 \leq x \leq π \Rightarrow \tan \frac{x}{2} \geq 0, sinx \geq 0 π \leq x \leq 2 π \Rightarrow \tan \frac{x}{2} \leq 0, sinx \leq 0 Alltså har \tan \frac{x}{2} och sinx samma tecken . Alltså är \tan \frac{x}{2} = \frac{sinx}{1 + cosx}$

ahh jag glömde att sätta att:

$2 t = \pm 2 \sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}}$

Eller det är väl det som är problemet?

Ja. Men man måste även använda att sinx och tan(x/2) har samma tecken.

Svara

Visa senaste svar