Om A så B, inte en logisk implikation?
Hur kan man säga att B inte följer logisk av A eller att A inte logisk implicerar B, utan att A endast implicerar B, när man säger ”om A så B” om man samtidigt menar att B inte kan vara falskt om A är sant?
Till exempel ”om du kommer till mötet, så kommer jag också”. ”Du kommer till mötet” alltså ”jag kommer också”. Om A så B, ”A” alltså B.
Den slutledningen menar min bok dock endast är en ”materiell implikation” och inte något som följer logiskt från A men för mig ser det här ut som en logisk slutledning? När man dessutom menar att B inte kan vara falsk om A är sann för att påståendet ska stämma?
Edit. Jag förstår nu att man försöker ta fasta på språkets materiella karaktär och göra skillnad på semantik och syntax. Som till exempel ”om katten är blå är den röd”, ”katten är blå” alltså är den röd.
Jag blev bara lite förvirrad för att jag trodde att man bokstavligen försökte säga att B inte följer logiskt ur A när man säger ”om A så B”.
Det är helt riktigt att 'A-->B' inte säger att B följer logiskt från A. Det är en ganska viktig detalj som är lätt att missa, kanske speciellt inom matematiken eftersom man där oftast skriver uttryck på den formen just då det finns ett sätt att från A sluta sig till B. Men det är inte det implikationen säger. Den säger inget alls om hur den logiska relationen mellan propositionerna A och B ser ut utan säger bara något om deras sanningsvärden i en given kontext, nämligen att B är sant om/när A är det.
Exempelvis så kan ju "om du kommer på festen så blir jag glad" formaliseras A-->B, men det går förstås inte att logiskt härleda "Russell blir glad" från satsen "PlatAr kommer på festen". När jag säger att jag blir glad om du kommer på festen så uttrycker jag inte att det är logiskt nödvändigt att jag blir glad om du kommer—jag säger bara att det rent faktiskt är på det viset. Det är ännu tydligare om man har helt orelaterade satser: Implikationen "Om min mamma har två hundar så dog Napoleon 1821" är sann, men hur noga man än studerar satsen "min mamma har två hundar" så kan man ju inte härleda något om Napoleons dödsår. Implikationen säger alltså inte att något följer logiskt från något annat, utan bara att vi rent faktiskt inte har det förstnämnda sant samtidigt som vi har det sistnämnda falskt.
I modus ponens (A, A-->B, alltså B) så skulle vi inte behöva den andra premissen om det var så att B följde logiskt från A. Då skulle vi ju bara behöva A som premiss för att dra slutsatsen B. När vi lägger till premissen 'A-->B' så tillför vi alltså någon relevant information som inte redan finns i A och B, nämligen information om hur deras sanningsvärden förhåller sig till varandra: Att B är sant om A är det.
Den så kallade deduktionssatsen säger att A|-B => |-A-->B, vilket betyder att om vi från A kan härleda B så är A-->B logiskt sant, men det betyder inte att det omvända gäller—dvs, att vi råkar ha A-->B sant betyder inte att vi kan härleda B från A (som exemplet med Napoleon visar).
Men när man säger ”om och endast om” då?
Då kan man ju härleda B från A och vice versa men det innebär ju inte att B logisk följer från A, ex ”jag går om och endast om du går”. Det följer ju inte logiskt att du går av att jag går?
Och om man väljer en mening med en konsekvens som följer logiskt av försatsen då?
PlatAr skrev:Men när man säger ”om och endast om” då?
Då kan man ju härleda B från A och vice versa men det innebär ju inte att B logisk följer från A, ex ”jag går om och endast om du går”. Det följer ju inte logiskt att du går av att jag går?
Även för ekvivalenser ("om och endast om", <-->) så är det bara en fråga om vad de ingående satserna faktiskt har för sanningsvärden och inte huruvida de följer från varandra på något formellt/logiskt sätt.
Säg t.ex. att vi har ett rum med tio person där alla som är över 178 cm långa har röd tröja och alla som inte är det har grön tröja. Då är det sant för alla i rummet att de har röd tröja om och endast om de är över 178 cm, men inget av det följer logiskt från det andra (det kanske är en ren slump att ekvivalensen är sann). När vi säger att det är sant så hävdar vi alltså inte att någon har röd tröja för att den är över 178 cm och tvärt om. Vi hävdar inte att det ena bokstavligt talat följer från det andra vare sig logiskt eller kausalt—vi säger bara att det faktiskt är så (av någon ospecificerad anledning) att satserna har samma sanningsvärde.
Att vi i det här sammanhanget vet att A<-->B är sant är bara för att vi råkar veta att påståendena stämmer för samma personer. I den bemärkelsen kan vi "sluta oss till" att någon är över 178 cm om vi vet att den har röd tröja (och tvärt om), men det är alltså bara för att vi vet vad som faktiskt är sant och falskt i sammanhanget (dvs vad påståendena har för sanningsvärden). Vi kan inte rent formellt/logiskt härleda det ena från det andra, för det hade ju kunnat vara någon där som var två meter lång och hade blå tröja. Då hade A<-->B varit falskt, så även om ekvivalensen i fråga faktiskt är sann så kan den inte vara en logisk sanning.
PlatAr skrev:
Och om man väljer en mening med en konsekvens som följer logiskt av försatsen då?
Då blir det som jag skrev på slutet av förra inlägget. Om man väljer A och B sådana att B följer logiskt från A (och vi alltså kan härleda B från A), då är det också logiskt sant att A-->B. Men om allt vi vet är att implikationen är sann så kan vi inte dra slutsatsen att eftersatsen är en logisk konsekvens av försatsen. Det kan den vara, men det behöver inte vara så.
Jag har fortfarande svårt för ”Om A så B” verkar det som.
Jag förstår inte varför dem har ordnat det så här där jag hade satt (handelscentrum) —> (flygplats eller hamnen ^ tillfartsvägar)?
Å ena sidan känns det logiskt att om dem anlägger en flygplats eller bygger ut hamnen och förbättrar tillfartsvägarna så behåller stadens sin position som handelscentrum men å andra sidan känns det som att det ska se ut så här:
Om handelscentrum så flygplats...
Handelscentrum
Alltså flygplats.
(Inte om flygplats så handelscentrum, om B så A)?
Jag är inte hundra på precis var missförståndet ligger så jag hoppas att jag inte rör till det ännu mer nu. :)
Är du med på att A—>B är ekvivalent med ¬B—>¬A? Det makes sense, för om man vet att "om A är sant så är B sant" och man vet att B inte är sant, då kan ju inte A heller vara sant. Från A —> B så följer det alltså att ¬B —> ¬A (och tvärt om enligt samma resonemang). Ett exempel vore om någon säger "om jag minns rätt så ligger Krakow i Polen" vilket ju även betyder att om Krakow inte ligger i Polen så minns personen inte rätt.
Följande två är alltså ekvivalenta:
1. handelscentrum —> (flygplats v (hamn ^ tillfartsvägar))
2. ¬(flygplats v (hamn ^ tillfartsvägar)) —> ¬handelscentrum
Alternativ 2 liknar originaltexten mer eftersom den lyder typ "handelscentrum kommer inte att bibehålla sin position om man inte gör någon av utbyggnaderna", och eftersom om indikerar att det är den andra halvan som är försatsen i implikationen så kan vi alltså förtydliga den logiska strukturen lite genom att strukturera om satserna. Då får vi "om man inte gör någon av utbyggnaderna så kommer handelscentrum inte att bibehålla sin position". Det har strukturen ¬B —> ¬A, men det spelar alltså ingen roll för logiken om man istället skriver det ekvivalenta A —> B.
Hjälpte det?
