Om A har 4 vektorer ,hur vet man att den ej är ett bas ?

Därför att kolumnvektorerna är 3-dimensionella (består av 3 element) dvs basen för dem består av högst 3 basvektorer. Om vi som här har 4 st kolumnvektorer så måste dessa alltså vara lineärt beroende.

Tomten skrev:

Därför att kolumnvektorerna är 3-dimensionella (består av 3 element) dvs basen för dem består av högst 3 basvektorer. Om vi som här har 4 st kolumnvektorer så måste dessa alltså vara lineärt beroende.

Nja jag ser att kolumnerna är 4 och raderna är 3 st vilket är 3×4 matris ? Förstår ej hur de kan vara dimensionella 

Hon säger att alla 4 av As kolonner kan inte allihopa vara en bas för As kolonnrum. 

A avbildar ju till R3 så det finns endast 3 möjligheter vad gäller dess kolonnrum. Antingen beskrivs col(A) av 3 LO vektorer, 2 LO vekotrer, eller enbart en vektor. 4 vektorer kan inte vara en bas till col(A) eftersom i absolut bästa fall blir ju den 4:e vektorn överflödig.

oneplusone2 skrev:

Hon säger att alla 4 av As kolonner kan inte allihopa vara en bas för As kolonnrum. 

A avbildar ju till R3 så det finns endast 3 möjligheter vad gäller dess kolonnrum. Antingen beskrivs col(A) av 3 LO vektorer, 2 LO vekotrer, eller enbart en vektor. 4 LO vektorer kan inte vara en bas till col(A) eftersom i absolut bästa fall blir ju den 4:e vektorn överflödig.

Hur vet man att den avbildar r^3? Och vad menas med lo?  Vi har ej pratat om avbildning ännu...

col(A) är det linjära spannet av kolonnerna i A. Varje kolonn kan tolkas som ett element i ${\mathrm{ℝ}}^3$.

Eftersom ${\mathrm{ℝ}}^3$ är ett tredimensionellt vektorrum så består varje bas för ${\mathrm{ℝ}}^3$ av precis 3 vektorer.

Eftersom A har 4 kolonner så kan de inte utgöra en bas. Jag tror LO = linjärt oberoende.

PATENTERAMERA skrev:

col(A) är det linjära spannet av kolonnerna i A. Varje kolonn kan tolkas som ett element i ${\mathrm{ℝ}}^3$.

Eftersom ${\mathrm{ℝ}}^3$ är ett tredimensionellt vektorrum så består varje bas för ${\mathrm{ℝ}}^3$ av precis 3 vektorer.

Eftersom A har 4 kolonner så kan de inte utgöra en bas. Jag tror LO = linjärt oberoende.

jaha okej Eftersom vi har 3 element i varje vektor hos varje kolonn i matris A så är det R^3? A:s kolonner är 4 så det fick mig att tänka på vektorer I R^4 ,så för att kolonner ska utgöra en bas så måste vektorerna vara i R^3 och ej R^4?

Ja, du kan alltid tänka på vad det blir för vektor i slutet av operationen $Ax$

Om $A$ är en 3x4-matris och man kopplar på en vektor $x$ som är 4x1 får man att $b$ är en vektor $(Ax=b)$

$(3\times4) \times (4\times 1) \to 3\times 1$

Slutresultatet vektorn $b$ är  alltså en 3x1-vektor, $b\in \mathbb{R}^3$.

Man säger att vektorn $b$ tillhör matrisen $A$s värderum (kolonnrummet). Den maximala dimensionen av kolonnrummet är alltså 3 i det här fallet.

Nollrummet är alla vektorer $x$ sådana att $Ax=0$. Vektorn $x$ är 4x1 och därmed är $x\in\mathbb{R}^4$. Den maximala dimensionen av nollrummet är 4 i det här fallet. Operationen $Ax$ kan ses som en linjär avbildning $F:\quad \mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^3$

Nu visar det sig att just den här matrisen endast har två oberoende kolonner, alltså är $\dim(\mathrm{col}(A))=2$ vilket betyder att nollrummet har dimensionen $4-\dim(\mathrm{col}(A))=2$ enligt dimensionssatsen.

D4NIEL skrev:

Ja, du kan alltid tänka på vad det blir för vektor i slutet av operationen $Ax$

Om $A$ är en 3x4-matris och man kopplar på en vektor $x$ som är 4x1 får man att $b$ är en vektor $(Ax=b)$

$(3\times4) \times (4\times 1) \to 3\times 1$

Slutresultatet vektorn $b$ är  alltså en 3x1-vektor, $b\in \mathbb{R}^3$.

Man säger att vektorn $b$ tillhör matrisen $A$s värderum (kolonnrummet). Den maximala dimensionen av kolonnrummet är alltså 3 i det här fallet.

Nollrummet är alla vektorer $x$ sådana att $Ax=0$. Vektorn $x$ är 4x1 och därmed är $x\in\mathbb{R}^4$. Den maximala dimensionen av nollrummet är 4 i det här fallet. Operationen $Ax$ kan ses som en linjär avbildning $F:\quad \mathbb{R}^4\to \mathbb{R}^3$

Nu visar det sig att just den här matrisen endast har två oberoende kolonner, alltså är $\dim(\mathrm{col}(A))=2$ vilket betyder att nollrummet har dimensionen $4-\dim(\mathrm{col}(A))=2$ enligt dimensionssatsen.

Hm jag är ej helt hundra på ditt resonemang faktiskt. Jag förstår ej var du får b och x ifrån..skulle vara schysst om vi bara kan ta en grej i taget här för att ej ställa till. Jag blandar ihop alltihop annars 

Låt $A$ vara en mxn-matris. Då är nollrummet ett underrum av $\mathbb{R}^n$ och kolonnrummet ett underrum av $\mathbb{R}^m$. Kolonnrummet kallas också värderummet.

Nollrummet för $A$ är mängden

$\mathrm{nul}(A)=\{\mathbf{x}\in \mathbb{R}^n\,:\, A\mathbf{x}=0\}$

Det är det som står längst upp till höger i bilden som du postade i din fråga!

Kolonnrummet är mängden av alla $\mathbf{b}$ för vilka ekvationen $A\mathbf{x}=b$ är lösbar.

Kolonnrummet är det $\mathrm{col}(A)$ som står mitt i bilden som du postade i din fråga!

D4NIEL skrev:

Låt $A$ vara en mxn-matris. Då är nollrummet ett underrum av $\mathbb{R}^n$ och kolonnrummet ett underrum av $\mathbb{R}^m$. Kolonnrummet kallas också värderummet.

Nollrummet för $A$ är mängden

$\mathrm{nul}(A)=\{\mathbf{x}\in \mathbb{R}^n\,:\, A\mathbf{x}=0\}$

Det är det som står längst upp till höger i bilden som du postade i din fråga!

Kolonnrummet är mängden av alla $\mathbf{b}$ för vilka ekvationen $A\mathbf{x}=b$ är lösbar.

Kolonnrummet är det $\mathrm{col}(A)$ som står mitt i bilden som du postade i din fråga!

Så eftersom vi har 3x4 matris så behöver vi hitta b dvs en matris som fungerar. Tex 3x4 eller 4x4 eller 3x4x4x1 . Men du valde 3x1 matris

Om A är m x n och x är n x 1 så är Ax m x 1.

PATENTERAMERA skrev:

Om A är m x n och x är n x 1 så är Ax m x 1.

Löste det som en ekvation för vi 3x4x(n×1)=0 och då är n =-1

PATENTERAMERA skrev:

Om A är m x n och x är n x 1 så är Ax m x 1.

Om mitt uträkning är fel så ser vi på olika för jag vet ej var mx1 kommer ifrån. Tänker du så?

Ja, det är generella regler för matrismultiplikation.

Om A är m x n och B är n x p så är AB m x p.

PATENTERAMERA skrev:

Ja, det är generella regler för matrismultiplikation.

Om A är m x n och B är n x p så är AB m x p.

Så i uppgiften har vi A =3x4 men B är typ n×1 och då måste B vara 4x1 för att matris ska fungera ? Det är alltså därför hon säger att fyra kolonner ej kan utgöra en bas utan det måste alltså vara 1 kolon,2 ,3 eller hur?  Då kan vi säga direkt att 3×1 matris utgör R^3

Vi kan se en 3 x 1 matris (en kolonnvektor) som ett element i ${\mathrm{ℝ}}^3$.

Och, precis, om A är 3 x 4 så måste x vara 4 x 1 för att Ax skall vara definierad.

PATENTERAMERA skrev:

Vi kan se en 3 x 1 matris (en kolonnvektor) som ett element i ${\mathrm{ℝ}}^3$.

Och, precis, om A är 3 x 4 så måste x vara 4 x 1 för att Ax skall vara definierad.

Ok då tror jag att jag förstår varför hon sa som hon sa.. kan tänka mig att även 4x2 matris och även 4x3. Men ej över 3 ?