Olikhetstecken i facit

Vad har du för definition av växande funktion?

Här kan du läsa om några sätt att se på saken: växande-funktioner-och-derivata

En funktion är växande på ett intervall om följande gäller för alla punkter $x_1, x_2$ sådana att $x_2 < x_2$ på detta intervall: $f(x_1) \leq f(x_2)$. (https://sv.wikipedia.org/wiki/Monoton_funktion)

Så om du tar $x_1 = 2$  så kommer det att stämma att för alla $x_2 > x_1=2$ så har vi $f(x_1) = f(2) \leq f(x_2)$. Därför är 2 med i intervallet där funktionen är växande och vi kan säga att den är växande på $x \geq 2$.

Det är skillnad på när en funktion $f(x)$ är växande (avtagande), då gäller $f'(x)\geq0$ ($f'(x)\leq0$) och när en funktion är strängt växande (strängt avtagande), då gäller $f'(x)>0$ ($f'(x)<0$).

Du kan läsa mer om det här.

Jag förvirrades över att många uppgifter även tar med x där derivatan är noll. När derivatan är positiv växer den ju, men när den är noll så händer ingenting? Det är ju då en extrempunkt uppstår och grafen vänder sig till negativ lutning. Om jag försöker förstå utifrån vad alla har skrivit - är det rätt att tänka såhär: I en v-t-graf är derivatan accelerationen, först är lutningen positiv och fordonet accelererar. Sedan blir derivatan blir 0 (ingen acceleration) men fordonet åker fortfarande men med konstant hastighet och därmed är y fortfarande positivt?

Yngve skrev:

Det är skillnad på när en funktion $f(x)$ är växande (avtagande), då gäller $f'(x)\geq0$ ($f'(x)\leq0$) och när en funktion är strängt växande (strängt avtagande), då gäller $f'(x)>0$ ($f'(x)<0$).

Du kan läsa mer om det här.

Förutsatt att frågan inte säger "strängt avtagande/växande" ska jag i intervallet alltid markera med $\ge \le$? Det känns som att det beror på hur frågan är formulerad och jag vet inte riktigt hur jag ska tolka det under ett prov.

Ja det räcker att hålla koll på derivatans tecken på olika intervall och använda det Yngve skriver:

Du har fått fram att $f'(x) \geq 0$ för $x \geq 2$, då kan du säga att funktionen är växande på intervallet $x \geq 2$.

Du har fått fram att $f'(x) > 0$ för $x > 2$ (om de hade frågat om det), då kan du säga att funktionen är strängt växande på intervallet $x>2$.

(Det kommer nog ingen fråga om men det är så att satsen som Yngve nämner bara fungerar i ena riktningen, det kan alltså finnas funktioner som i en punkt har derivata 0 men funktionen är ändå strängt växande på ett intervall som inkluderar denna punkt, t.ex.$x^2$ är strängt växande på $[0, \infty)$.)

Är det rätt uträkning på frågan?

Din derivata stämmer, din teckentabell stämmer, din beskrivning av de stationära punkternas karaktär stämmer.

Men på a-uppgiften har du endast angivit x-koordinaterna som svar, du ska även ange y-koordinaterna.

På b-uppgiften så ska svaret vara att $y=x^3-3x^2$ är

• växande då $x\leq0$ och då $x\geq2$
• avtagande då $0\leq x\leq2$