Olikheter.

Det bästa är nog att falluppdela, ja. Fyra fall, beroende på om vänsterledet är positivt eller negativt, och om högerledet är positivt eller negativt. Fallet att vänsterledet är negativt och högerledet positivt kan vi sortera bort.

I det här fallet kan vi göra det enklare för oss genom att addera ett till båda sidor så att roten ur x står ensamt, då blir det bra när vi kvadrerar. Och då vet vi dels att x måste vara större än eller lika med noll, och dels att det nya högerledet inte är negativt, så då blev det bara ett fall kvar av fyra.

Men så är det förstås inte alltid.

Laguna skrev:

Det bästa är nog att falluppdela, ja. Fyra fall, beroende på om vänsterledet är positivt eller negativt, och om högerledet är positivt eller negativt. Fallet att vänsterledet är negativt och högerledet positivt kan vi sortera bort.

I det här fallet kan vi göra det enklare för oss genom att addera ett till båda sidor så att roten ur x står ensamt, då blir det bra när vi kvadrerar. Och då vet vi dels att x måste vara större än eller lika med noll, och dels att det nya högerledet inte är negativt, så då blev det bara ett fall kvar av fyra.

Men så är det förstås inte alltid.

Okej, men min tankegång stämmer? Jag hade nämligen en diskussion kring en uppgift idag där det rörde sig om just detta med min lärare där hon sa att det var mer av en förenkling och därför behövde jag inte bry mig när jag bara kvadrerar. Men jag lovade att återkomma på måndag med bevis för min tankegång :D  (inte detta exemel)

pepsi1968 skrev:

Laguna skrev:

Det bästa är nog att falluppdela, ja. Fyra fall, beroende på om vänsterledet är positivt eller negativt, och om högerledet är positivt eller negativt. Fallet att vänsterledet är negativt och högerledet positivt kan vi sortera bort.

I det här fallet kan vi göra det enklare för oss genom att addera ett till båda sidor så att roten ur x står ensamt, då blir det bra när vi kvadrerar. Och då vet vi dels att x måste vara större än eller lika med noll, och dels att det nya högerledet inte är negativt, så då blev det bara ett fall kvar av fyra.

Men så är det förstås inte alltid.

Okej, men min tankegång stämmer? Jag hade nämligen en diskussion kring en uppgift idag där det rörde sig om just detta med min lärare där hon sa att det var mer av en förenkling och därför behövde jag inte bry mig när jag bara kvadrerar. Men jag lovade att återkomma på måndag med bevis för min tankegång :D  (inte detta exemel)

Om funktionerna är kontinuerliga så är det vid de x där olikheten blir likhet som något intressant händer. Man kan helt enkelt kvadrera på, och sedan lösa ekvationen man får (ekvation, inte olikhet). När man har fått en uppsättning intervall att titta på så testar man dem vart och ett i den ursprungliga olikheten. Det kan ju vara en alternativ metod.

Laguna skrev:

pepsi1968 skrev:

Visa föregående citat

Laguna skrev:

Det bästa är nog att falluppdela, ja. Fyra fall, beroende på om vänsterledet är positivt eller negativt, och om högerledet är positivt eller negativt. Fallet att vänsterledet är negativt och högerledet positivt kan vi sortera bort.

I det här fallet kan vi göra det enklare för oss genom att addera ett till båda sidor så att roten ur x står ensamt, då blir det bra när vi kvadrerar. Och då vet vi dels att x måste vara större än eller lika med noll, och dels att det nya högerledet inte är negativt, så då blev det bara ett fall kvar av fyra.

Men så är det förstås inte alltid.

Okej, men min tankegång stämmer? Jag hade nämligen en diskussion kring en uppgift idag där det rörde sig om just detta med min lärare där hon sa att det var mer av en förenkling och därför behövde jag inte bry mig när jag bara kvadrerar. Men jag lovade att återkomma på måndag med bevis för min tankegång :D  (inte detta exemel)

Om funktionerna är kontinuerliga så är det vid de x där olikheten blir likhet som något intressant händer. Man kan helt enkelt kvadrera på, och sedan lösa ekvationen man får (ekvation, inte olikhet). När man har fått en uppsättning intervall att titta på så testar man dem vart och ett i den ursprungliga olikheten. Det kan ju vara en alternativ metod.

Kan jag visa min uppgift här o berätta vad jag tror så säger du om det stämmer eller inte?

$$\begin{gathered} \sqrt{1-\left|x\right|}\le x-1 // x \ngtr 1 \\ fall 1 // x-1 \ge 0 \iff x\ge 1 \\ {\left(\sqrt{1-x}\right)}^2\le {(x-1)}^{2}1-x\le x^2-2x+1 \\ {x}^2-x\ge 0 \\ x(x-1)\ge 0 \\ {x}_1 \ge 0 \\ {x}_2-1 \ge 0 \iff x\ge 1 eftersom att x \ngtr 1, är x_2=1 \\ fall 2 //-1< x <0 \Rightarrow x-1 < 0 och 1+x >0 \\ \sqrt{1+x}\le x-1 \\ {\left(\sqrt{1+x}\right)}^2\le {(x-1)}^2 // visst bytts olikhetstecknet håll här enligt mina vilkor? \\ 1-x\ge x^2-2x+1 \\ {x}^2+x\le 0 \\ x(x+1)\le 0 \\ {x}_3\le 0 \\ {x}_4\le -1 \\ svar: x_1 \ge 0, x_2=1, x_3\le 0, x_4\le -1 \end{gathered}$$

tycker dock att mina svar är ganska konstiga, nästan betydelselösa? För att ta ut mer info ska man göra en tabell eller något? Men min originella fråga var somsagt om jag skulle göra sådär som jag gjorde med fallen eller om det är onödigt när man kvadrerar?

Har du provat några värden på x?

Laguna skrev:

Har du provat några värden på x?

Hur menar du då? för att kolla om min olikheter stämmer?

Men, fungerade kvadreringen i denna uppgift utan fall eller ska jag ha med fallen som jag gjorde?

pepsi1968 skrev:

Laguna skrev:

Har du provat några värden på x?

Hur menar du då? för att kolla om min olikheter stämmer?

Ja. Ditt svar nu ser ut att säga att olikheten gäller för alla x.

Laguna skrev:

pepsi1968 skrev:

Visa föregående citat

Laguna skrev:

Har du provat några värden på x?

Hur menar du då? för att kolla om min olikheter stämmer?

Ja. Ditt svar nu ser ut att säga att olikheten gäller för alla x.

Sant. Jag har ju typ ett intervall. x ≯1. Okej jag märkte nu att i.o.m att det är absolut belopp blir intervallet för frågan: $-1 < x < 1$

mitt svar säger mig även att $i \sqrt{1-\left|x\right|} \ge x-1 för alla x i intervallet förutom x_2=1 där dem är lika stora.$

Har jag krånglat till den här uppgiften lite väl, dvs gör jag rätt? 

pepsi1968 skrev:

Laguna skrev:

Visa föregående citat

pepsi1968 skrev:

Laguna skrev:

Har du provat några värden på x?

Hur menar du då? för att kolla om min olikheter stämmer?

Ja. Ditt svar nu ser ut att säga att olikheten gäller för alla x.

Sant. Jag har ju typ ett intervall. x ≯1. Okej jag märkte nu att i.o.m att det är absolut belopp blir intervallet för frågan: $-1 < x < 1$

mitt svar säger mig även att $i \sqrt{1-\left|x\right|} \ge x-1 för alla x i intervallet förutom x_2=1 där dem är lika stora.$

Har jag krånglat till den här uppgiften lite väl, dvs gör jag rätt? 

Ska det vara >=, eller =<? Det stod =< tidigare.

Laguna skrev:

pepsi1968 skrev:

Visa föregående citat

Laguna skrev:

pepsi1968 skrev:

Visa föregående citat

Laguna skrev:

Har du provat några värden på x?

Hur menar du då? för att kolla om min olikheter stämmer?

Ja. Ditt svar nu ser ut att säga att olikheten gäller för alla x.

Sant. Jag har ju typ ett intervall. x ≯1. Okej jag märkte nu att i.o.m att det är absolut belopp blir intervallet för frågan: $-1 < x < 1$

mitt svar säger mig även att $i \sqrt{1-\left|x\right|} \ge x-1 för alla x i intervallet förutom x_2=1 där dem är lika stora.$

Har jag krånglat till den här uppgiften lite väl, dvs gör jag rätt? 

Ska det vara >=, eller =<? Det stod =< tidigare.

Den ursprungliga "frågan" var: $$\begin{gathered} \sqrt{1-\left|x\right|}\le x-1 \\ Men genom att analysera mina svar fick jag: \\ \sqrt{1-\left|x\right|}\ge x-1 för alla x, \sqrt{1-\left|x\right|}=x-1 för x = 1 \end{gathered}$$

Jag löser den så här: Roten $\geq 0$, och då gäller $x \geq 1$. Uttrycket under rottecknet blir negativt när x > 1, så allt som är kvar är x = 1.

Så här behövdes varken fallindelning eller kvadrering.

Laguna skrev:

Jag löser den så här: Roten $\geq 0$, och då gäller $x \geq 1$. Uttrycket under rottecknet blir negativt när x > 1, så allt som är kvar är x = 1.

Så här behövdes varken fallindelning eller kvadrering.

Okej! tack för all hjälp. Har du något exempel på en uppgift är man behöver falluppdela så jag kan kolla vad som gör skillnaden?

Hej!

Jag får:

$\sqrt{1-\left|x\right|}=x-1$, x=1

$\sqrt{1-\left|x\right|}\ge x-1$, $-1\le x\le 1$

VL är inte reellt, $x<-1 \& x>1$

$\sqrt{1-\left|x\right|}< x-1$ gäller aldrig.