Olikheter

Bestäm ekvationens lösningsmängd:
x> $\frac{3}{x - 2}$

Facit säger att täljaren ska skrivas om på faktorform för att sen kunna göra en teckentabell, det är jag med på, men jag förstår inte hur jag kommer dit. Är det någon som kan förklara stegen till hur jag ska faktorisera täljaren så att det blir som nedan:

$\frac{(x - 1) (x - 3)}{x - 2}$ >0

Hej! Subtrahera x från båda leden:

$x > \frac{3}{x - 2} \Leftrightarrow 0 > \frac{3}{x - 2} - \frac{x (x - 2)}{x - 2} \Leftrightarrow 0 > \frac{3 - x^{2} + 2 x}{x - 2} \Leftrightarrow 0 < \frac{x^{2} - 2 x - 3}{x - 2} = \frac{(x + 1) (x - 3)}{x - 2}$

Så det är antagligen bara ett teckenfel och det ska egentligen stå x+1, inte x-1 i täljaren.

Subtrahera $\frac{3}{x - 2}$ från båda led:

$x - \frac{3}{x - 2} > 0$

Skriv på samma bråkstreck:

$\frac{x (x - 2) - 3}{x - 2} > 0$

Utveckla parentesen:

$\frac{x^{2} - 2 x - 3}{x - 2} > 0$

Därefter kan du faktorisera täljaren. Svaret ska dock bli $\frac{(x + 1) (x - 3)}{x - 2} > 0$ .

Edit: Känslan när man ser att Moffen hann före:

Olikheter ä r ofta krångligare, jag tycker ekvationer är enklare, och så kan jag undersöka intervallen efteråt.

Undersök ekvationen $x=\frac{3}{x-2}$ . Ta reda på dess nollställen.

Tusen tack! En grej bara. När jag tillslut kvadratkompletterar täljaren x^2−2x−3 får jag (x-5)(x+3). Vad gör jag för fel, eller har ni något bättre sätt att utveckla paranteser här än att kvadratkomplettera?

Om man inte kan se faktoriseringen direkt så skulle jag lösa ut nollställena antingen med hjälp av pq-formeln eller med hjälp av kvadratkomplettering och sedan utnyttja att en andragradsfunktion kan skrivas $(x - n_{1}) (x - n_{2})$ där $n_{1}, n_{2} ä r n o l l s t ä l l e n a f ö r f u n k t i o n e n$

Exempelvis med pq-formel (liknande med kvadratkomplettering)

$x^{2} - 2 x - 3 = 0 x = \frac{- (- 2)}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- 2}{2})}^{2} + 3} x = 1 \pm 2 x_{1} = 3 x_{2} = - 1$

Nollställena är 3 och -1

Med hjälp av formel f(x)= $(x - n_{1}) (x - n_{2})$ där n1 och n2 är nolställena

så kan vi se att det kan faktoriseras till $(x - (- 1)) (x - 3) = (x + 1) (x - 3)$

som kan kontrolleras att det stämmer genom att utveckla

När man börjar bli van att se det här så kan man direkt börja fundera kring att om konstanttermen ska vara -3 så måste i detta fall n1 och n2 multiplicerat med varandra vara lika med -3 efter som dessa bildar konstanttermen när man utvecklar parenteserna. Detta gör att ena parentesen måste ha positivt tecken och den andra negativt. x-termen ska bli -2x vilket gör att man kanske då kan gissa sig till att talen måste vara 3 och 1 för att termerna -3x + 1x ska kunna ta ut varandra och bli -2x. Men genom att lösa ut nollställena ka man alltid säkert hitta faktoriseringen

Bonus: Hitta nollställena med kvadratkomplettering och faktorisera om man gillar det sättet

$x^{2} - 2 x - 3 = 0 x^{2} - 2 x = 3 N ä r m a s t e k v a d r a t e n (x - 1)^{2} = x^{2} - 2 x + 1 . V i " k o m p l e t t e r a r " g e n o m a t t d r a b o r t 1^{2} = 1 (x - 1)^{2} - 1 = 3 (x - 1)^{2} = 4 x - 1 = \pm \sqrt{4} x - 1 = \pm 2 x_{1} - 1 = 2 \Leftrightarrow x_{1} = 3 x_{1} - 1 = - 2 \Leftrightarrow x_{1} = - 1 F u n k t i o n e n k a n d å s k r i v a s f (x) = (x - (- 1) (x - 3) = (x + 1) (x - 3)$

Jonto skrev:
Bonus: Hitta nollställena med kvadratkomplettering och faktorisera om man gillar det sättet
$x^{2} - 2 x - 3 = 0 x^{2} - 2 x = 3 N ä r m a s t e k v a d r a t e n (x - 1)^{2} = x^{2} - 2 x + 1 . V i " k o m p l e t t e r a r " g e n o m a t t d r a b o r t 1^{2} = 1 (x - 1)^{2} - 1 = 3 (x - 1)^{2} = 4 x - 1 = \pm \sqrt{4} x - 1 = \pm 2 x_{1} - 1 = 2 \Leftrightarrow x_{1} = 3 x_{1} - 1 = - 2 \Leftrightarrow x_{1} = - 1 F u n k t i o n e n k a n d å s k r i v a s f (x) = (x - (- 1) (x - 3) = (x + 1) (x - 3)$

Tack! Jag hade missat att ta bort kvadraten på 4 med ett rottecknet så nu stämmer det :)

Svara

Visa senaste svar