Olikheter

Hej, jag förstår inte hur man ska tänka här när man löser x i följande olikhet på detta sätt:

$\frac{x - 1}{x + 3} \leq \frac{x + 2}{2 x + 1} \Rightarrow (x - 1) (2 x + 1) \leq (x + 2) (x + 3), x > - \frac{1}{2} \Leftrightarrow (x - 7) (x + 1) \leq 0, x > - \frac{1}{2}$ . (Fick en rätt lösningsmängd av detta: $- \frac{1}{2} < x \leq 7$ ), stämmer
Eftersom jag multiplicerar båda led med uttryck som innehåller x-variabel kan värdet orsaka att man ska vända på likhetstecknet för att det ska gälla. Det finns lite olika fall här när man studerar nämnarna i VL och HL.

$x > - 3 \Rightarrow x + 3 > 0 x > - \frac{1}{2} \Rightarrow 2 x + 1 > 0$

Men här är det lite spännande för att mellan -3 och -1/2 finns ett fall till:
$- 3 < x < - \frac{1}{2} \Rightarrow x + 3 > 0 & 2 x + 1 < 0$

Så mellan dessa värden ska jag vända på likhetsecknet när jag beräknar:?? $\frac{x - 1}{x + 3} \leq \frac{x + 2}{2 x + 1} \Rightarrow (x - 1) (2 x + 1) \geq (x + 2) (x + 3), - 3 < x < - \frac{1}{2}$
?

Ett sätt är att dela upp definitionsmängden i olika intervall och att lösa olikheten separat i de olika intervallen.

Intressanta intervall att undersöka är

x < -3
-3 < x < -1/2
x > -1/2

Ett annat sätt är att samla alla termer till vänster om likhetstecknet, göra liknämnigt och lösa olikheten "bråktal" $\leq$ 0.

Då kan du utnyttja att "bråktal" = 0 då täljaren = 0 och att "bråktal" < 0 då täljare och nämnare har olika tecken.

Yngve skrev:
Ett sätt är att dela upp definitionsmängden i olika intervall och att lösa olikheten separat i de olika intervallen.

Intressanta intervall att undersöka är

x < -3

-3 < x < -1/2

x > -1/2

Ett annat sätt är att samla alla termer till vänster om likhetstecknet, göra liknämnigt och lösa olikheten "bråktal" $\leq$ 0.

Då kan du utnyttja att "bråktal" = 0 då täljaren = 0 och att "bråktal" < 0 då täljare och nämnare har olika tecken.

Okej, jag är helt införstådd i hur du menar. Jag testade det senare alternativet som du sa. Måste slarvat någonstans ska gå igenom det snart. Jag ska även testa de 3 intervallen förstås.

Tack för du läste igenom det jag skrev och tack för att du förstod exakt vad jag menade. :)

Funkade med första alternativet (Gå igenom 3 möjliga fallen). Tack för förtydligandet!

OK bra.

Förstod du varför vi valde just dessa intervall?

Yngve skrev:
OK bra.

Förstod du varför vi valde just dessa intervall?

Ja, för att om x<-3 är båda nämnarna negativa: inget teckenbyte, för det kvittar då när man multiplicerar med nämnarna.

osv, samma typ av tankesätt med de andra intervallen. När ena nämnaren är positiv och ena är negativ. Då måste man byta tecken vid multiplikation för att ena produkten byter tecken. Om du förstår hur jag menar.

Ja det stämmer 👍

Yngve skrev:
Ja det stämmer 👍

;)

Yngve skrev:
OK bra.

Förstod du varför vi valde just dessa intervall?

Med lite eftertanke förstår jag inte helt hur om båda led multipliceras med något negativt att olikhetstecknet fortfarande ska stämma? Eller handlar det mer om principen att "om man multiplicerar båda med samma sak, kan man anta att man ogör denna multiplikation genom att göra motsats?" Lite oklart

$3 > 2 (- 1) 3 > 2 (- 1) - 3 > - 2$

Bra att du ägnar det eftertanke och bra att du inte förstår det, för det stämmer nämligen inte.

Om vi har 3 > 2 och multiplicerar båda sidor med det negativa talet -1 så måste vi vända på olikhetstecknet för att olikheten ska stämma:

(-1)•3 < (-1)•2, dvs -3 < -2

Vi kan inse det genom att subtrahera i två steg istället för att multiplicera med -1:

3 > 2

Subtrahera 3 från båda sidor:

3-3 > 2-3

Förenkla:

0 > 2-3

Subtrahera 2 från båda sidor:

0-2 > 2-3-2

Förenkla:

-2 > -3

==========

Vad gäller själva uppgiften så har vi tre intervall:

I intervallet x > -1/2 så är båda nämnarna positiva och alltså behöver vi inte vända på olikhetstecknet någon gång när vi multiplicerar med nämnarna. Antal vändningar är 0.
I intervallet -3 < x < -1/2 så är ena nämnaren positiv och den andra negativ. Därför behöver vi vända på olikhetstecknet när vi multiplicerar med den negativa nämnaren men inte när vi multiplicerar med den positiva nämnaren. Antal vändningar är 1.
I intervallet x < -3 så är båda nämnarna negativa. Därför behöver vi vända på olilhetstecknet både när vi multiplicerar med den ena nämnaren och när vi multiplicerar med den andra nämnaren. Antal vändningar är 2.

Blev det tydligt då vad som händer?

Yngve skrev:
Bra att du ägnar det eftertanke och bra att du inte förstår det, för det stämmer nämligen inte.

Om vi har 3 > 2 och multiplicerar båda sidor med det negativa talet -1 så måste vi vända på olikhetstecknet för att olikheten ska stämma:

(-1)•3 < (-1)•2, dvs -3 < -2

Vi kan inse det genom att subtrahera i två steg istället för att multiplicera med -1:

3 > 2

Subtrahera 3 från båda sidor:

3-3 > 2-3

Förenkla:

0 > 2-3

Subtrahera 2 från båda sidor:

0-2 > 2-3-2

Förenkla:

-2 > -3

==========

Vad gäller själva uppgiften så har vi tre intervall:

I intervallet x > -1/2 så är båda nämnarna positiva och alltså behöver vi inte vända på olikhetstecknet någon gång när vi multiplicerar med nämnarna. Antal vändningar är 0.

I intervallet -3 < x < -1/2 så är ena nämnaren positiv och den andra negativ. Därför behöver vi vända på olikhetstecknet när vi multiplicerar med den negativa nämnaren men inte när vi multiplicerar med den positiva nämnaren. Antal vändningar är 1.

I intervallet x < -3 så är båda nämnarna negativa. Därför behöver vi vända på olilhetstecknet både när vi multiplicerar med den ena nämnaren och när vi multiplicerar med den andra nämnaren. Antal vändningar är 2.

Blev det tydligt då vad som händer?

Haha japp :D Jag vill lära mig matematik på djupet nu och då blir det eftertanke. Ja, precis vi måste vända på likhetstecknet när vi tar multiplicerat med negativt på båda sidorna, det blir mycket klarare nu.

Även om jag lyckades få rätt svar på uppgiften, något som inte kändes klart!

Tack återigen, uppskattar det verkligen.

Svara

Visa senaste svar