Olikhet och gränsvärde

Funktionen f är definierad för x > 0 och uppfyller olikheterna

ln(1 + x) ≤ f(x) ≤ ln(1 + 2x)

Vad kan sägas om

a) $\lim_{x \to \infty}$ f(x)

b) $\lim_{x - > 0 +}$ f(x)

c) $\lim_{x - > 0 +}$ f(x) / x

På a) använde jag squeeze-metoden då jag såg att de två andra funktionerna gick mot oändligheten. Då gjorde även f(x) det.

Till b) använde jag också samma metod då jag såg att de två andra funktionerna gick mot 0. Då gjorde även f(x) det.

Problem har jag med c). Jag delar de andra funktionerna med x och tycker mig kunna använda standardgränsvärdet. Då går den mindre funktionen mot 1 och den större mot 2. Då menar jag på att uttrycket i c bör vara mindre än 2 och större än 1. Svaret lyder dock: "Vi kan inte säga någonting. Vi vet dock att OM gränsvärdet existerar så ligger det mellan 1 och 2.

Jag är lite förvirrad angående det här med om gränsvärdet existerar. Hur skulle jag snabbt kunna se att det inte går att säga om gränsvärdet inte existerar?

Du har rätt i att funktionen ligger mellan 1 och 2, men ett gränsvärde har den bara om den går mot en enda punkt. Den här kanske svänger jättefort mellan de talen och aldrig landar. Jämför med tex cos(1/x) när x -- > 0, den är inlåst mellan - 1 och 1 men svänger bara snabbare ju närmare 0 vi kommer.

Någon annan får gärna rätta mig om jag har fel men jag vill säga att de enda fallen vi kan säga att gränsvärdet existerar i denna uppgiften är de två fallen nedan.

(1) Vi kan stänga in det mellan två värden som är lika med varandra alltså

$g (x) \leq f (x) \leq p (x)$ där $\lim_{x \to \infty} g (x) = a$ och $\lim_{x \to \infty} p (x) = a$ $\Rightarrow$ $a \leq f (x) \leq a$ .

(2) Vi kan säga att funktionen går mot + eller - oändligheten alltså

$\underset{}{\lim_{x \to c}} g (x) = \infty \Rightarrow \lim_{x \to c} f (x) = \infty$ alternativt att $\lim_{x \to α} p (x) = - \infty \Rightarrow \underset{}{\lim_{x \to α} f (x) = - \infty}$ .

Det jag säger är alltså att om det inte går att stänga in det enligt ovan så kan vi helt enkelt inte säga något om huruvida det existerar eller inte.

Aha, men så kan inte fallet vara i de två första deluppgifterna. För där gick de båda andra mot samma. Jag tror jag fattar nu. Tack!

Svara

Visa senaste svar