olikhet med två absolutbelopp fråga 2 (Matematik/Matte 3/Algebraiska uttryck)

Dina intervall är inte helt rätt. Intervall 2 och intervall 3 överlappar varandra delvis. Alla x som ingår i intervall 2 ingår även i intervall 3 så som du har skrivit. Du ska ha tre distinkta intervall, dvs utan överlapp.

Sedan är inte heller "brytpunkterna" rätt. Kan du berätta hur du tänkte när du hittade dem, dvs när du tog fram de värden på x för vilka uttrycken innanför absolutbelopptecken byter tecken?

Yngve skrev:
Dina intervall är inte helt rätt. Intervall 2 och intervall 3 överlappar varandra delvis.
Kan du berätta hur du tänkte när du hittade "brytpunkterna", dvs de värden på x för vilka uttrycken innanför absolutbelopptecken byter tecken.

absolut!

fall1: x är mindre än 0 ger -x+3 < -2x ger x < -3

fall2: x är mindre än 3 men större än 0 ger -x+3 < 2x ger 3 < 3x ger 1 < x

fall2: x är större än 3 ger x-3 < 2x ger -3 < x

Eller har jag räknat något fel här?

tack för hjälpen

Maremare skrev:

absolut!
fall1: x är mindre än 0 ger -x+3 < -2x ger x < -3
fall2: x är mindre än 3 men större än 0 ger -x+3 < 2x ger 3 < 3x ger 1 < x
fall2: x är större än 3 ger x-3 < 2x ger -3 < x
Eller har jag räknat något fel här?
tack för hjälpen

Nej det stämmer.

Du skrev att du räknade ut intervallen till $x<-3$ , $1<x$ och $-3<x$ , men jag ser nu att du menade att det var lösningarna i respektive intervall.

Du har alltså att:

i intervallet $x<0$ så finns lösningen $x<-3$ . Det betyder att $x<-3$ är en giltig lösning.
i intervallet $0\leq x<3$ så finns lösningen $x>1$ Det betyder att $1<x<3$ är en giltig lösning.
i intervallet $x\geq3$ så finns lösningen $x>-3$ . Det betyder att $x\geq3$ är en giltig lösning.

Kan du uttrycka dessa tre giltiga lösningar på ett mer kompakt sätt?

Yngve skrev:
Maremare skrev:
absolut!
fall1: x är mindre än 0 ger -x+3 < -2x ger x < -3
fall2: x är mindre än 3 men större än 0 ger -x+3 < 2x ger 3 < 3x ger 1 < x
fall2: x är större än 3 ger x-3 < 2x ger -3 < x
Eller har jag räknat något fel här?
tack för hjälpen
Nej det stämmer.
Du skrev att du räknade ut intervallen till $x<-3$ , $1<x$ och $-3<x$ , men jag ser nu att du menade att det var lösningarna i respektive intervall.
Du har alltså att:
i intervallet $x<0$ så finns lösningen $x<-3$ . Det betyder att $x<-3$ är en giltig lösning.
i intervallet $0\leq x<3$ så finns lösningen $x>1$ Det betyder att $1<x<3$ är en giltig lösning.
i intervallet $x\geq3$ så finns lösningen $x>-3$ . Det betyder att $x\geq3$ är en giltig lösning.
Kan du uttrycka dessa tre giltiga lösningar på ett mer kompakt sätt?

yes okej är inte så bra än på uttrycka mig matematiskt

aboslut här är mer kompact:

fall1: $x \in (- \infty, - 3)$

fall2: $x \in (1, \infty)$

fall2: $x \in (- 3, \infty)$

Har du läst och förstått mitt svar?

Ser du att det är skillnad på de lösningsmängder jag har givit och de lösningsmängden du har givit?

T.ex intervall 2 är begränsat till endast $0\leq x<3$ . I det intervallet är det endast följande värden på x som löser olikheten: $x>1$ . Detta tillsammans ger att endast $1<x<3$ är en giltig lösning här.

Yngve skrev:
Har du läst och förstått mitt svar?
Ser du att det är skillnad på de lösningsmängder jag har givit och de lösningsmängden du har givit?
T.ex intervall 2 är begränsat till endast $0\leq x<3$ . I det intervallet är det endast följande värden på x som löser olikheten: $x>1$ . Detta tillsammans ger att endast $1<x<3$ är en giltig lösning här.

nej jag ser inte vart du har svarat, ser bara att du har sammanfattat mina svar, eller vad har jag missat?

förstår inte vad som är fel med mitt svar

Maremare skrev:

nej jag ser inte vart du har svarat, ser bara att du har sammanfattat mina svar, eller vad har jag missat?
förstår inte vad som är fel med mitt svar

Jag har svarat här. Läs igen, jag har inte sammanfattat dina svar.

Felet med ditt svar är att du har med lösningar som inte ingår i de tillåtna intervallen (fall 2 och fall 3).

Du har till exempel med x = -1 som lösning i fall 3, men den punkten ingår inte i intervall 3, dvs den är inte tillåten där. (Och den är inte heller en lösning till ursprungsolikheten.)

Du måste alltså begränsa lösningsmängderna i respektive intervall så att de uppfyller villkoren för intervallet

Yngve skrev:
Maremare skrev:
nej jag ser inte vart du har svarat, ser bara att du har sammanfattat mina svar, eller vad har jag missat?
förstår inte vad som är fel med mitt svar
Jag har svarat här. Läs igen, jag har inte sammanfattat dina svar.
Felet med ditt svar är att du har med lösningar som inte ingår i de tillåtna intervallen (fall 2 och fall 3).
Du har till exempel med x = -1 som lösning i fall 3, men den punkten ingår inte i intervall 3, dvs den är inte tillåten där. (Och den är inte heller en lösning till ursprungsolikheten.)
Du måste alltså begränsa lösningsmängderna i respektive intervall så att de uppfyller villkoren för intervallet

hm jag förstår inte riktigt vad det är jag ska titta på eller räkna om. i inlägget du länkade står det att jag har räknat rätt, sen skriver du "du har alltså att" så jag vet inte vad det är som är ditt svar och vad som är mitt svar

Har du ritat upp dina uttryck? Det är min standardmetod - rita först, lös ekvationen f(x) = g(x) och använd bilden för att se vad som är större och vad som är mindre än den andra funktionen. Jag tycker det är jättelätt att råka hamna fel med olikheter, så därför löser jag hellre en ekvation än en olikhet.

Smaragdalena skrev:
Har du ritat upp dina uttryck? Det är min standardmetod - rita först, lös ekvationen f(x) = g(x) och använd bilden för att se vad som är större och vad som är mindre än den andra funktionen. Jag tycker det är jättelätt att råka hamna fel med olikheter, så därför löser jag hellre en ekvation än en olikhet.

okej jag ska testa, men vad är f(x) och g(x) i denna uppgift?

edit: jag har ritat dom nu bredivd varandra, vad ska jag göra med dessa grafer? ska jag räkna ut skärningspunkter eller vadå?

Maremare skrev:

hm jag förstår inte riktigt vad det är jag ska titta på eller räkna om. i inlägget du länkade står det att jag har räknat rätt, sen skriver du "du har alltså att" så jag vet inte vad det är som är ditt svar och vad som är mitt svar

OK jag uttryckte mig otydligt.

Jag borde ha skrivit

"Dina lösningar till olikheterna stämmer, men du är inte klar än. Du måste även kontrollera i vilken mån olikheternas lösningar är giltiga i de tre intervallen."

istället för bara

"Nej det stämmer."

---------

Sedan borde jag ha skrivit

"Jag hjälper dig med fortsättningen:"

istället för att skriva

"Du har alltså att:"

-----------

Ser du att det är skillnad på de lösningsmängder du har skrivit och de jag har skrivit?

Yngve skrev:
Maremare skrev:
hm jag förstår inte riktigt vad det är jag ska titta på eller räkna om. i inlägget du länkade står det att jag har räknat rätt, sen skriver du "du har alltså att" så jag vet inte vad det är som är ditt svar och vad som är mitt svar
OK jag uttryckte mig otydligt.
Jag borde ha skrivit
"Dina lösningar till olikheterna stämmer, men du är inte klar än. Du måste även kontrollera i vilken mån olikheternas lösningar är giltiga i de tre intervallen."
istället för bara
"Nej det stämmer."
---------
Sedan borde jag ha skrivit
"Jag hjälper dig med fortsättningen:"
istället för att skriva
"Du har alltså att:"
-----------
Ser du att det är skillnad på de lösningsmängder du har skrivit och de jag har skrivit?

jag förstår att jag saknar något men förstår inte vad det är jag ska fortsätta med

jag ser bara att du skrivit att alla intervall är en giltig lösning

vad är det jag ska göra för att slutföra uppgiften?

Maremare skrev:
Smaragdalena skrev:
Har du ritat upp dina uttryck? Det är min standardmetod - rita först, lös ekvationen f(x) = g(x) och använd bilden för att se vad som är större och vad som är mindre än den andra funktionen. Jag tycker det är jättelätt att råka hamna fel med olikheter, så därför löser jag hellre en ekvation än en olikhet.
okej jag ska testa, men vad är f(x) och g(x) i denna uppgift?

edit: jag har ritat dom nu bredivd varandra, vad ska jag göra med dessa grafer? ska jag räkna ut skärningspunkter eller vadå?

Maremare skrev:
jag förstår att jag saknar något men förstår inte vad det är jag ska fortsätta med
jag ser bara att du skrivit att alla intervall är en giltig lösning
vad är det jag ska göra för att slutföra uppgiften?

Nej jag har inte skrivit att alla intervall är en giltig lösning. Jag har för vart och ett av intervallen skrivit vilken den giltiga lösningen är.

Vi gör så här:

Jag hjälper dig genom att nu hyfsat utförligt beskriva hur en algebraisk lösning kan se ut.
Du läser noga igenom den lösningen och försöker förstå alla delar i den.
Om det är det allra minsta i lösningen som du inte förstår så frågar du om det.

Är det OK? Då kör vi.

---------------------

Uppgift: Lös olikheten $|x-3|<2|x|$

Lösning: Olikheten består av två absolutbelopp. Det är enklare att lösa olikheter utan absolutbelopp och vi försöker därför formulera olikheten utan absolutbelopp.

Vi vet att absolutbeloppen fungerar på så sätt att $|a|=-a$ då $a<0$ och att $|a|=a$ då $a\geq0$ .

Om vi alltså bara kan hitta de områden där $|x-3|$ respektive $|x|$ är mindre än och större än eller lika med 0 så kan vi ersätta dessa uttryck med andra som inte har absolutbelopptecken och olikheten blir då betydligt enklare att lösa.

Vi börjar nuy med att ta reda på vilka "brytpunkterna" är, dvs de punkter vid vilka uttrycken innanför absolutbelopptecknen byter tecken.

Uttrycket $x-3$ är mindre än 0 då $x<3$ och större än eller lika med 0 då $x\geq3$ . En brytpunkt ligger alltså vid $x=3$ .

Uttrycket $x$ är mindre än 0 då $x<0$ och större än eller lika med 0 då $x\geq0$ . En brytpunkt ligger alltså vid $x=0$ .

Vi hittar endast dessa två brytpunkter och vi delar därför upp problemet i tre olika delproblem, där varje delproblem är giltigt i sitt eget intervall och där intervallen bestäms av brytpunkterna.

Intervall 1: $x<0$ .

Här är $|x-3|<0$ och $|x|<0$ , vilket betyder att $|x-3|=-(x-3)$ och att $|x|=-x$ .

Vår olikhet kan då skrivas $-(x-3)<2\cdot (-x)$ , dvs $3-x<-2x$ , med lösningsmängden $x<-3$ .

Eftersom det giltiga intervallet är $x<0$ så ryms hela lösningsmängden i det giltiga intervallet, och vi behöver därför inte begränsa lösningsmängden.

Vi kan tänka att den giltiga lösningsmängden är den där båda villkoren $x<0$ och $x<-3$ är uppfyllda, och det är de för $x<-3$ .

I intervall 1 är alltså lösningsmängden $x<-3$ .

Intervall 2: $0\leq x<3$ .

Här är $|x-3|<0$ och $|x|\geq0$ , vilket betyder att $|x-3|=-(x-3)$ och att $|x|=x$ .

Vår olikhet kan då skrivas $-(x-3)<2\cdot x$ , dvs $3-x<2x$ , med lösningsmängden $x>1$ .

Eftersom det giltiga intervallet är $0\leq x<3$ så är det endast en del av lösningsmängden som ryms i det giltiga intervallet, nämligen delen $1<x<3$ .

Vi kan tänka att den giltiga lösningsmängden är den där båda villkoren $0\leq x<3$ och $x>1$ är uppfyllda, och det är de för $1<x<3$ .

I intervall 2 är alltså lösningsmängden $1<x<3$ .

Intervall 3: $x\geq3$ .

Här är $|x-3|\geq0$ och $|x|>0$ , vilket betyder att $|x-3|=x-3$ och att $|x|=x$ . Vår olikhet kan då skrivas $x-3<2\cdot x$ , med lösningsmängden $x>-3$ .

Eftersom det giltiga intervallet är $x\geq3$ så så är det endast en del av lösningsmängden som ryms i det giltiga intervallet, nämligen delen $x\geq3$ .

Vi kan tänka att den giltiga lösningsmängden är den där båda villkoren $x\geq3$ och $x>-3$ är uppfyllda, och det är de för $x\geq3$ .

I intervall 3 är alltså lösningsmängden $x\geq3$ .

---------------------

Sammanfattning:

Olikhetens tre lösningsmängder är

$x<-3$
$1<x<3$
$x\geq3$

Vi ser att vi kan uttrycka både lösningsmängd 2 och 3 med hjälp av följande: $1<x$ .

Den slutliga lösningen är alltså att olikheten är uppfylld dels för alla $x<-3$ , dels för alla $x>1$ .