olikhet med två absolutbelopp

Sätt upp fall för x då uttrycken då 1) båda 2) HL 3) VL 4) ingen är negativ och ta bort absolutbeloppen och se om likheten gäller.

Jag börjar med 1): båda uttrycken är negativa då x<-1. Multiplicera uttrycken med (-1) och ta bort absolutbeloppet. -x-1>-x+3 alltså -1>3 vilket är FEL. x<-1 löser alltså INTE olikheten.

Edit: jag rekommenderar detta över geometrisk tolkning eftersom om frågan är svårare så blir det svårt att göra det. Det är dessutom enklare att göra resonemangfel.

Din geometriska tolkning är rätt.

Markera talen -1 och 3 på en tallinje.

Vilka punkter på tallinjen har större avstånd till punkten -1 än till punkten 3?

Pröva dig fram med några olika punkter.

Börja t.ex. med -10. Är den längre bort från -1 än från 3?

Flytta dig sedan längs tallinjen så får du nog ganska snart en känsla för var lösningarna finns.

När du har löst problemet på det sättet tycker jag att du ska pröva två av de andra metoderna på samma problem:

• Dela upp olikheten i flera fall. Här behöver du dela upp i tre olika intervall.
• Lösa grafiskt.

Säg till om du behöver igångsättningshjälp med detta.

Anmäl dig även gärna till någon av våra digitala räknestugor så kan du få personlig online-hjälp av en volontär.

Klicka här så ser du vilka tillfällen som är inplanerade.

Qetsiyah skrev:

Sätt upp fall för x då uttrycken då 1) båda 2) HL 3) VL 4) ingen är negativ och ta bort absolutbeloppen och se om likheten gäller.

Jag börjar med 1): båda uttrycken är negativa då x<-1. Multiplicera uttrycken med (-1) och ta bort absolutbeloppet. -x-1>-x+3 alltså -1>3 vilket är FEL. x<-1 löser alltså INTE olikheten.

Edit: jag rekommenderar detta över geometrisk tolkning eftersom om frågan är svårare så blir det svårt att göra det. Det är dessutom enklare att göra resonemangfel.

jag förstår inte riktigt vad du menar med "...x då uttrycken då 1) båda 2) HL 3) VL 4)..."

vad innebär dessa 1) 2) HL 3) VL 4) för något?

vilka fall ska ja dela upp detta i, om vi har ett absolut belopp så blir det två fall. om vi har två absolutbelopp blir det 4 fall då eller?

Yngve skrev:

Din geometriska tolkning är rätt.

Markera talen -1 och 3 på en tallinje.

Vilka punkter på tallinjen har större avstånd till punkten -1 än till punkten 3?

Pröva dig fram med några olika punkter.

Börja t.ex. med -10. Är den längre bort från -1 än från 3?

Flytta dig sedan längs tallinjen så får du nog ganska snart en känsla för var lösningarna finns.

alla tal från minus oändlighet upp till 1 är större till -1 än till 3

är det svaret då eller? (-oändlighet, 1) ?

edit: förstår inte, vad menas med längre bort? -10 är längre från 3 än -1 men vad betyder det i frågan, innebär det att det är < eller > alltså är den med i svaret eller inte då?

Maremare skrev:

...

vilka fall ska ja dela upp detta i, om vi har ett absolut belopp så blir det två fall. om vi har två absolutbelopp blir det 4 fall då eller?

Det blir tre intervall.

Du kan komma fram till det genom att hitta "brytpunkterna" för de två absolutbeloppen, dvs de värden på x för vilka uttrycken innanför absolutbelopptecknen byter tecken:

• "Brytpunkten" för $|x+1|$ är $x = -1$, för det är där som uttrycket $x+1$ byter tecken. Om $x<-1$ så är $x+1<0$. Om $x>-1$ så är $x+1>0$.
• "Brytpunkten" för $|x-3|$ är $x = 3$, för det är där som uttrycket $x-3$ byter tecken. Om $x<3$ så är $x-3<0$. Om $x>3$ så är $x-3>0$.

Det ger dig följande intervall:

Intervall 1: $x<-1$. Här är både $x+1$ och $x-3$ mindre än 0. Du kan alltså i detta intervall ersätta $|x+1|$ med $-(x+1)$ och $|x-3|$ med $-(x-3)$ i ekvationen.

Intervall 2: $-1\leq x<3$. Här är $x+1$ större än 0 och $x-3$ mindre än 0. Du kan alltså i detta intervall ersätta $|x+1|$ med $x+1$ och $|x-3|$ med $-(x-3)$ i ekvationen.

Intervall 3: $x\geq3$. Här är både $x+1$ och $x-3$ större än 0. Du kan alltså i detta intervall ersätta $|x+1|$ med $x+1$ och $|x-3|$ med $x-3$ i ekvationen.

Du får då tre olika ekvationer utan absolutbelopp som du enkelt kan lösa separat. Förkasta de lösningar som inte ligger inom giltigt intervall för respektive ekvation.

Maremare skrev:

alla tal från minus oändlighet upp till 1 är större till -1 än till 3

är det svaret då eller? (-oändlighet, 1) ?

...

Nej tvärtom.

Tag -10 som exempel.

• Avståndet från -10 till -1 är 9. Alltså är |x+1| = 9 då x = -10.
• Avståndet från -10 till 3 är 13. Alltså är |x-3| = 13 då x = -10.

9 är inte större än 13, därför gäller inte olikheten |x+1| > |x-3| för x = -10.

Flytta nu närmare origo. Det är fortfarande närmare till -1 än till 3.

Men vid x = 1 händer något. Där är det lika långt till -1 som till 3.

Vad händer vid ännu större tal, t ex vid x = 2?

• Hur långt är det från 2 till -1?
• Hur långt är det från 2 till 3?

Yngve skrev:

Maremare skrev:

...

vilka fall ska ja dela upp detta i, om vi har ett absolut belopp så blir det två fall. om vi har två absolutbelopp blir det 4 fall då eller?

Det blir tre intervall.

Du kan komma fram till det genom att hitta "brytpunkterna" för de två absolutbeloppen, dvs de värden på x för vilka uttrycken innanför absolutbelopptecknen byter tecken:

• "Brytpunkten" för $|x+1|$ är $x = -1$, för det är där som uttrycket $x+1$ byter tecken. Om $x<-1$ så är $x+1<0$. Om $x>-1$ så är $x+1>0$.
• "Brytpunkten" för $|x-3|$ är $x = 3$, för det är där som uttrycket $x-3$ byter tecken. Om $x<3$ så är $x-3<0$. Om $x>3$ så är $x-3>0$.

Det ger dig följande intervall:

Intervall 1: $x<-1$. Här är både $x+1$ och $x-3$ mindre än 0. Du kan alltså i detta intervall ersätta $|x+1|$ med $-(x+1)$ och $|x-3|$ med $-(x-3)$ i ekvationen.

Intervall 2: $-1\leq x<3$. Här är $x+1$ större än 0 och $x-3$ mindre än 0. Du kan alltså i detta intervall ersätta $|x+1|$ med $x+1$ och $|x-3|$ med $-(x-3)$ i ekvationen.

Intervall 3: $x\geq3$. Här är både $x+1$ och $x-3$ större än 0. Du kan alltså i detta intervall ersätta $|x+1|$ med $x+1$ och $|x-3|$ med $x-3$ i ekvationen.

Du får då tre olika ekvationer utan absolutbelopp som du enkelt kan lösa separat. Förkasta de lösningar som inte ligger inom giltigt intervall för respektive ekvation.

kan man se direkt hur många fall / intervall det blir eller behöver man ställa upp allting först?

för du skrev direkt att det blir 3 fall, är det för att du visste det eller kan man se det?

Yngve skrev:

Maremare skrev:

alla tal från minus oändlighet upp till 1 är större till -1 än till 3

är det svaret då eller? (-oändlighet, 1) ?

...

Nej tvärtom.

Tag -10 som exempel.

• Avståndet från -10 till -1 är 9. Alltså är |x+1| = 9 då x = -10.
• Avståndet från -10 till 3 är 13. Alltså är |x-3| = 13 då x = -10.

9 är inte större än 13, därför gäller inte olikheten |x+1| > |x-3| för x = -10.

Flytta nu närmare origo. Det är fortfarande närmare till -1 än till 3.

Men vid x = 1 händer något. Där är det lika långt till -1 som till 3.

Vad händer vid ännu större tal, t ex vid x = 2?

• Hur långt är det från 2 till -1?
• Hur långt är det från 2 till 3?

okej tack jag är med på tankesättet nu

Men hur löser man denna uppgift enklast då? för jag kan inte testa alla tal utan behöver övertyga läsaren att svaret är [1, oändligheten)

vad är enklaste/tydligaste sättet? 

att ställa upp i tre fall eller finns det ett mer kompakt sätt eller vad är "standard"?

Om du bara vill övertyga läsaren behöver du enbart att visa upp graferna, då det då blir mycket tydligt att detta är ett faktum

Börja med att rita upp en tallinje, markera punkterna som uppgiften handlar om

Dvs punkten $x=-1$ och punkten $x=3$ (röda prickar)

Enligt uppgiften ska avståndet till punkten $x=-1$ vara större än avståndet till $x=3$.

Vi inser att det är sant för alla tal till höger om $x=3$

Det är också sant för några tal till vänster om $x=3$. Närmare bestämt alla tal tills vi är precis mitt emellan $x=-1$ och $x=3$. Där är ju avstånden till de två punkterna exakt lika.

Vi gör en stor blå blubb för att visa var det inträffar.

Sedan blåmarkerar vi den del av tallinjen för vilka avståndet till $x=-1$ är större än avståndet till $x=3$.

Maremare skrev:

...

Men hur löser man denna uppgift enklast då? för jag kan inte testa alla tal utan behöver övertyga läsaren att svaret är [1, oändligheten)

vad är enklaste/tydligaste sättet? 

att ställa upp i tre fall eller finns det ett mer kompakt sätt eller vad är "standard"?

Det finns ingen "standard".

Det finns tre enkla och bra metoder. Vi har gått igenom två av dem, men inte den tredje, nämligen den grafiska metoden.

Om du ritar graferna till y = |x+1| (svart graf) och y = |x-3| (röd graf) i samma koordinatsystem så är det supertydligt att lösningen till |x+1| > |x-3| är x > 1:

tack för alla svar jag är med på uppgiften och förstår den och kan lösa den

tänkte mer om den kom på en tenta vilken metod var "enklast" att lösa denna med då man inte burkar skriva mycket text eller rita mycket på tenta svaren men då är jag med

tack för hjälpen!

Vad som är enklast är individuellt, så det kan bara du själv avgöra. Därför är det bra att pröva alla metoder så att du kan känna efter vilken som passar dig bäst.

För just detta problemet är troligtvis den snabbaste metoden att använda tallinjen och avstånd, sedan kommer den grafiska metoden och sist den att dela upp i intervall och lösa tre ekvationer.

För mig skulle den snabbaste metoden vara att rita upp de båda funktionerna i samma koordinatsystem och lösa ekvationen f(x)=g(x), om inte korsningens koordinater är uppenbara. Då slipper jag hålla ordning på en massa olikhetstecken, som jag tycker är betydligt krångligare än likheter.