Olikhet med integraler

Hej, i följande uppgift behöver jag enbart bevisa att den ena funktionen är mindre än den andra, för alla a < x < b. Om vi säger att f(x) = (sin x)^2 och g(x) = |sin x| så behöver jag bara bevisa att f(x) < g(x). Det är allmönt känt att (sin x) pendlar mellan -1 och 1. Om vi tex låter x = 0,5 så blir f(0,5) = 0,25 medan g(0,5) = 0,5. På så vis stämmer olikheten att f(x) < g(x). Jag har testat stoppa in alla möjliga x-värden mellan -1 och 1 och då stämmer olikheten, alla gånger utom när jag stoppar in x = -1, x=1 eller x=0. För då blir f(x) = g(x) och då stämmer inte olikheten som jag ska bevisa. Hur ska man egentligen tänka?

Det borde gå bra att dela upp integrationen i flera intervall, kanske några där likhet gäller någonstans, men minst ett där olikhet alltid gäller.

Hur menar du dela upp i intervall? Kan du visa med exempel?

Om a = 0 så kan du använda intervallen [0; 0,1] och [0,1; b].

En liten ledning:

f(x) = sin²(x) - |sin(x)| = |sin(x)|(|sin(x)| - 1) $\leq$ 0. Med likhet endast då x = n $\frac{π}{2}$ , $n \in ℤ$ .

Välj a’ och b’ sådana att a < a’ < b’ < b och så att x $\in$ [a’, b’] implicerar att x $\neq n \frac{π}{2}$ för alla n $\in ℤ$ .

Då gäller att

$\int_{a}^{b} f (x) d x$ = $\int_{a}^{a'} f (x) d x$ + $\int_{a'}^{b'} f (x) d x$ + $\int_{b'}^{b} f (x) d x$ (1).

Om du nu använder integralkalkylens medelvärdessats på (1) så kan du visa att $\int_{a}^{b} f (x) d x < 0$ , vilket sedan implicerar det sökta resultatet.

Men man ska kunna lösa uppgiften enbart med hjälp av de grundläggande egenskaperna för integraler.

Har du en lista på vad som räknas som grundläggande egenskaper?

Här är en lista från KTH med grundläggande egenskaper hos integraler. Du klarar uppgiften med vad som står på första sidan.

Det verkar som att du redan lyckats visa att f<=g i hela det givna intervallet. För att visa strikt olikhet mellan de båda integralerna räcker det då att visa strikt olikhet f<g på något Öppet Delintervall av a<x<b.

Svara

Visa senaste svar