Olikhet med integral (envariabel)

Hej! Jag har denna uppgift som jag kommit en bit på vägen med, men jag känner att mina argument brister lite kanske...
Först använder jag mig av att $f (x) = \frac{1}{1 + x^{10}}$ är en jämn funktion ( $f (- x) = f (x)$ ).
Vilket gör att jag kan skriva integralen som
$2 \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^{10}} d x$

Och eftersom jag ej kan lösa denna integral så tänker jag att jag kan använda mig av använda mig av en integral jag kan lösa, tex:
$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = a r c \tan (x) + C$

Då till det jag känner att mitt argument brister i, hur jag visar att jag kan använda denna. För jag tänker mig antingen att x är på intervallet [-1,1] och då kan jag använda mig av olikheten $1 + x^{10} \leq 1 + x^{2}$ men detta gäller bara om $x \in [- 1, 1]$ . För om x hade varit ett godtyckligt tal skulle väl olikheten vara åt andra hållet? Eftersom t.ex. x varit 2 hade ju x^10 varit större än x^2.

Stämmer detta?
Om det stämmer kan jag använda mig av detta för att då får jag olikheten
$\frac{1}{1 + x^{10}} \geq \frac{1}{1 + x^{2}}$
Och vidare,
$2 \geq 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^{10}} d x \geq 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Och då eftersom $2 \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} d x = 2 (a r c \tan (1) - a r c \tan (0)) = 2 (\frac{π}{4} - 0) = \frac{π}{2}$
Och eftersom $\frac{π}{2} < 2$ måste ju integralen mellan dessa värden vara just mellan och då måste ju olikheten ha visats?

Du har visat att integralen är större än $\frac{\pi}{2}$ , inte att den är mindre än 2.

Om du ritar funktionen, hittar du en annan funktion som ger precis 2 i området?

Laguna skrev:
Du har visat att integralen är större än $\frac{\pi}{2}$ , inte att den är mindre än 2.

Om du ritar funktionen, hittar du en annan funktion som ger precis 2 i området?

Syftar du på f(x)= 1/1+x^10?

Tillägg: 30 sep 2021 20:57

f(x)=1/1+x^10 på intervallet [-1,1] antar aldrig ett värde över 1, så känner mig väldigt lost just nu

Mjausa skrev:
Laguna skrev:
Du har visat att integralen är större än $\frac{\pi}{2}$ , inte att den är mindre än 2.

Om du ritar funktionen, hittar du en annan funktion som ger precis 2 i området?

Syftar du på f(x)= 1/1+x^10?

Tillägg: 30 sep 2021 20:57

f(x)=1/1+x^10 på intervallet [-1,1] antar aldrig ett värde över 1, så känner mig väldigt lost just nu

Ja men då kanske det är en bra funktion att jämföra med!

Smutsmunnen skrev:
Mjausa skrev:
Laguna skrev:
Du har visat att integralen är större än $\frac{\pi}{2}$ , inte att den är mindre än 2.

Om du ritar funktionen, hittar du en annan funktion som ger precis 2 i området?

Syftar du på f(x)= 1/1+x^10?

Tillägg: 30 sep 2021 20:57

f(x)=1/1+x^10 på intervallet [-1,1] antar aldrig ett värde över 1, så känner mig väldigt lost just nu

Ja men då kanske det är en bra funktion att jämföra med!

Ska jag använda mig av f(x)=1 så jag har $2 \int_{0}^{1} 1 d x = 2 {[x]}_{0}^{1} = 2 (1 - 0) = 2$ ?

Och att jag använder mig av den integralen för att visa att
$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{1 + x^{10}} d x \leq 2$

Och då använder jag typ istället:

$2 \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^{10}} d x \leq 2 \int_{0}^{1} 1 d x$

Och eftersom
$\frac{1}{1 + x^{10}} \leq 1$

så gäller olikheten? Har man visat det då eller behövs det mer? Och jag kan stryka det jag tänkte med arctan?

Tillägg: 30 sep 2021 21:40

Nu gjorde jag ju dock det lite baklänges gentemot hur jag kanske borde gjort det. Men tror poängen på metoden uppfattas ändå :)

Precis så, då har du visat det.

Smutsmunnen skrev:
Precis så, då har du visat det.

Tack för hjälpen!

Skulle detta anses som tillräckligt motiverat nu när jag slängt om ordningen eller måste jag vara mer tydlig med varifrån jag fått 1 ifrån?

Svara

Visa senaste svar