Olikhet med absolutbelopp (Matematik/Matte 3)

Jag förstår inte vad det är du gör. Du behöver undersöka tre olika fall.

Om x>1 så är |x-1|=x-1. Om x<1 så är |x-1|=1-x. Intressant värde där det ändras: x=0.

Om x>3 så är |x-1|=x-3. Om x<3 så är |x-3|=3-x. Intressant värde där det ändras: x=3.

Du har alltså tre olika intervall du behöver undersöka: x<0, 0<x<3 och x>3.

Flyttade tråden från Ma1 till Ma3, eftersom man inte lär sig absolutbelopp förrän i Ma3. /moderator

Alternativ approach: Rita upp en tallinje och sätt ut talen 1 och 3. Fundera på vilka tal som är sådana att avståndet till 1 är större än avståndet till 3.

Smaragdalena skrev:
Jag förstår inte vad det är du gör. Du behöver undersöka tre olika fall.
Om x>1 så är |x-1|=x-1. Om x<1 så är |x-1|=1-x. Intressant värde där det ändras: x=0.
Om x>3 så är |x-1|=x-3. Om x<3 så är |x-3|=3-x. Intressant värde där det ändras: x=3.
Du har alltså tre olika intervall du behöver undersöka: x<0, 0<x<3 och x>3.
Flyttade tråden från Ma1 till Ma3, eftersom man inte lär sig absolutbelopp förrän i Ma3. /moderator

Jag är inte riktigt med på hur du menar. I min bok står det att man ska dela upp i olika fall beroende på om absolutbeloppet är positivt eller negativt. Det borde då ge totalt fyra fall, men två av dem tog jag inte med för att det inte gav någon lösning. De lösningar jag får är olikheterna x>2 och x<2, men ett av dem är ju givetvis fel. Men du får jättegärna utveckla din lösning/förklaring! :)

Hej,

Argumenten till absolutbeloppen ändrar tecken i punkterna $x=1$ och $x=3$ . Följ Oggihs råd och markera dessa två punkter på tallinjen. Då kommer du att se att tallinjen delas in i tre områden:

intervallet $(-\infty,1)$ och intervallet $(1,3)$ samt intervallet $(3,\infty).$

Studera hur olikheten ser ut på vart och ett av dessa intervall.

Det första intervallet: Här är olikheten

$-(x-1)>-(x-3)\iff 1>3$

vilket är omöjligt förstås. Olikheten har inga lösningar på det första intervallet.

Det andra intervallet: Här är olikheten

$(x-1)>-(x-3)\iff 2x>4\iff x>2.$

Olikheten har lösningar och de ligger i intervallet $(2,3)$ .

Jag överlåter till dig att hantera det tredje intervallet.

Albiki skrev:
Hej,
Argumenten till absolutbeloppen ändrar tecken i punkterna $x=1$ och $x=3$ . Följ Oggihs råd och markera dessa två punkter på tallinjen. Då kommer du att se att tallinjen delas in i tre områden:
intervallet $(-\infty,1)$ och intervallet $(1,3)$ samt intervallet $(3,\infty).$
Studera hur olikheten ser ut på vart och ett av dessa intervall.
Det första intervallet: Här är olikheten
$-(x-1)>-(x-3)\iff 1>3$
vilket är omöjligt förstås. Olikheten har inga lösningar på det första intervallet.
Det andra intervallet: Här är olikheten
$(x-1)>-(x-3)\iff 2x>4\iff x>2.$
Olikheten har lösningar och de ligger i intervallet $(2,3)$ .
Jag överlåter till dig att hantera det tredje intervallet.

Tack! Tror jag förstår nu.

Ett Off Topic-inlägg borttaget. // Smutstvätt/Pepparkvarn, moderator

abcdefg skrev:
Hej!

Försöker lösa olikheten $|x - 1| > |x - 3|$ och får då två olika fall:
Fall 1: $x - 1 > - (x - 3) \Rightarrow x > 2$
Fall 2: $- (x - 1) > (x - 3) \Rightarrow x < 2$
Vad gör jag för fel?

Du gör inget fel i de två fallen, men vi saknar lite av analysen innan.
Jag gör om lite så får vi se om du är med på det.

1) $|x - 1| = - (x - 1)$ Vi studerar när uttrycket i parentesen är negativt. Om x>1 är uttrycket negativt i parentesen.

2) $|x - 1| = x - 1$ Vi studerar när högerledet är positivt. Om x>1 är uttrycket i högerledet positivt.

3) $|x - 3| = - (x - 3)$ Om x<3 är uttrycket i parentesen negativt.

4) $|x - 3| = x - 3$ Om x>3 är uttrycket positivt.

Det är de här fyra uttrycken man kan ta fram som du undrade lite över.

I det här fallet har vi fyra kombinationer att titta på. 1) och 3), 1) och 4), 2) och 3) samt 2) och 4).

Fall1 för dig är 2) och 3) för mig. Jag får samma svar som dig x>2 och det går bra om man tittar på vad jag skrivit efter.
På 2) står att x>1 och på 3) står att x<3. Då ser vi att x>2 är rimligt att det finns däremellan.

Fall2 för dig är 1) och 4) för mig. Jag får samma svar som dig x>2, men den går inte bra om vi tittar.
x>1 och x>3. Där är det bara en som stämmer alltså är x>2 falskt

1) och 3) saknar lösning eftersom x försvinner.

Samma sak med 2) och 4) som du också konstaterat tolkade jag det som?

En sanningstabell kan i ett sånt här enkelt fall vara till bra hjälp.

Hoppas att det här hjälper något.
Min kunskap var innan detta ringa då väldigt lite om detta står i min matematikserie Origo. Lite mer fanns i mina gamla gymnasieböcker från 1969. Största hjälpen fick jag av Börje Sundvall i denna länk
https://www.youtube.com/watch?v=Ox55mE8N0qY

Man kan också ganska fort rita upp de två ekvationerna i ett diagram och eftersom det är absolutbelopp kommer de inte att gå ned under x=0 utan vända i två punkter på x-axeln. Jag återkommer straxt med en bild.

Här kommer den.

Notera att vi nu har tre olika metoder för att angripa det här problemet:

Den algebraiska. Dela upp i olika fall beroende på om det som står innanför absolutbeloppstecknen är negativt eller större än eller lika med 0.

Den geometriska. Tolka $|x-a|$ som avståndet mellan $x$ och punkten $a$ på tallinjen.

Den grafiska. Rita upp de V-formade graferna och resonera kring var de korsar varandra.

Alla tre perspektiven är väldigt användbara, så ett tips är att försöka förstå dem allihop!

ConnyN skrev:
abcdefg skrev:
Hej!

Försöker lösa olikheten $|x - 1| > |x - 3|$ och får då två olika fall:
Fall 1: $x - 1 > - (x - 3) \Rightarrow x > 2$
Fall 2: $- (x - 1) > (x - 3) \Rightarrow x < 2$
Vad gör jag för fel?
Du gör inget fel i de två fallen, men vi saknar lite av analysen innan.
Jag gör om lite så får vi se om du är med på det.
1)   $|x - 1| = - (x - 1)$ Vi studerar när uttrycket i parentesen är negativt. Om x>1 är uttrycket negativt i parentesen.
2)   $|x - 1| = x - 1$ Vi studerar när högerledet är positivt. Om x>1 är uttrycket i högerledet positivt.
3)   $|x - 3| = - (x - 3)$ Om x<3 är uttrycket i parentesen negativt.
4)   $|x - 3| = x - 3$ Om x>3 är uttrycket positivt.
Det är de här fyra uttrycken man kan ta fram som du undrade lite över.
I det här fallet har vi fyra kombinationer att titta på. 1) och 3), 1) och 4), 2) och 3) samt 2) och 4).
Fall1 för dig är 2) och 3) för mig. Jag får samma svar som dig x>2 och det går bra om man tittar på vad jag skrivit efter.
På 2) står att x>1 och på 3) står att x<3. Då ser vi att x>2 är rimligt att det finns däremellan.
Fall2 för dig är 1) och 4) för mig. Jag får samma svar som dig x>2, men den går inte bra om vi tittar.
x>1 och x>3. Där är det bara en som stämmer alltså är x>2 falskt
1) och 3) saknar lösning eftersom x försvinner.
Samma sak med 2) och 4) som du också konstaterat tolkade jag det som?
En sanningstabell kan i ett sånt här enkelt fall vara till bra hjälp.
Hoppas att det här hjälper något.
Min kunskap var innan detta ringa då väldigt lite om detta står i min matematikserie Origo. Lite mer fanns i mina gamla gymnasieböcker från 1969. Största hjälpen fick jag av Börje Sundvall i denna länk
https://www.youtube.com/watch?v=Ox55mE8N0qY
Man kan också ganska fort rita upp de två ekvationerna i ett diagram och eftersom det är absolutbelopp kommer de inte att gå ned under x=0 utan vända i två punkter på x-axeln. Jag återkommer straxt med en bild.
Här kommer den.

Grymt, tack!