olikhet

Hej, kan någon hjälpa mig med att lösa följande olikhet:

$\frac{1 - x^{4}}{1 - (x^{2} + 1)^{2}} < 1$

Jag började med att föra över ettan till VL och fick noll i HL

$\frac{- 1 - x^{4} - 1 (1 - x^{2} + 1)}{1 - (x^{2} + 1)^{2}}$ <0

efter att jag summerat ihop får jag kvar $\frac{- x^{4} + x^{2} - 3}{1 - (x^{2} + 1)^{2}} < 0$

men här har jag kört fast och kommer inte vidare.

Tråd flyttad från Matematik/Högskola till Matematik/Matte 2. /Smutstvätt, moderator.

Börja med att subtrahera 1 från båda led och förläng så att du får allting över och under ett gemensamt bråkstreck. Din olikhet är då ekvivalent med

$- \frac{2 x^{2} + 1}{x^{2} (x^{2} + 2)} < 0$ .

Lös nu ekvationerna där täljare och nämnare är lika med noll respektive:

$\{\begin{cases} - 2 x^{2} + 1 & = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ x_{2} = & - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases} \\ x^{2} (x^{2} + 2) & = 0 \Leftrightarrow x_{3} = 0 \end{cases}$

Undersök nu olikheten ovan med dessa värden, och världen emellan och i ändpunkterna. Hur ser tecknet ut?

Nämnaren är negativ så det räcker att kolla när -x^4+x^2-3 är positivt. Sätt x^2=t så är det lätt att avgöra.

svaret ska vara x icke lika med noll men jag kommer inte fram till det, jag är med på hur man får fram $\frac{1}{\sqrt{2}}$ och $- \frac{1}{\sqrt{2}}$ men hur ska man komma fram till alla x utom x=0

Va är nämnaren då x=0 ?

då är ju nämnaren också 0 då $0 (0 + 2) = 0$

Hej!

Med hjälp av Konjugatregeln kan kvotens täljare och nämnare faktoriseras.

$\displaystyle \frac{1-x^4}{1-(1+x^2)^2} = \frac{(1-x^2)(1+x^2)}{(1-(x^2+1))(1+(x^2+1))} = \frac{(x^2-1)(1+x^2)}{x^2(2+x^2)}\ .$

Nämnaren är ett positivt tal, så om man multiplicerar olikheten med nämnaren så får man den ekvivalenta olikheten

$\displaystyle (x^2-1)(1+x^2) < x^2(2+x^2)\ ,$

som man också kan skriva $(x^2-1)(1+x^2) < x^2(1+x^2) + x^2.$ Denna olikhet är i sin tur samma sak som olikheten

$\displaystyle -1< 2x^2.$ Vilka reella tal ( $x$ ) uppfyller denna olikhet?

Albiki

Albiki skrev :
Hej!
Med hjälp av Konjugatregeln kan kvotens täljare och nämnare faktoriseras.
    $\displaystyle \frac{1-x^4}{1-(1+x^2)^2} = \frac{(1-x^2)(1+x^2)}{(1-(x^2+1))(1+(x^2+1))} = \frac{(x^2-1)(1+x^2)}{x^2(2+x^2)}\ .$
Nämnaren är ett positivt tal, så om man multiplicerar olikheten med nämnaren så får man den ekvivalenta olikheten
    $\displaystyle (x^2-1)(1+x^2) < x^2(2+x^2)\ ,$
som man också kan skriva $(x^2-1)(1+x^2) < x^2(1+x^2) + x^2.$ Denna olikhet är i sin tur samma sak som olikheten
    $\displaystyle -1< 2x^2.$
Vilka reella tal ( $x$ ) uppfyller denna olikhet?
Albiki

Hej!

Notera att nämnaren är ett positivt tal så länge som $x \neq 0$ ; kvoten är inte definierad då $x = 0$ , eftersom då är nämnaren lika med $1-1 = 0.$

Albiki

okej jag är med fram till olikheten $(x^{2} - 1) (x^{2} + 1) < x^{2} (1 + x^{2}) + x^{2}$

när jag förkortar får jag det till $x^{2} - 1 < 2 x^{2}$ och inte -1<x^2

Multiplicera ihop parenteserna i VL, multiplicera in kvadraten i HL, förenkla. Du kan inte bara ta bort en parentes i VL och en i HL, eftersom den sista termen i HL inte är multiplicerad med parentesen.

Hej Idil M!

Din olikhet $x^2-1 < 2x^2$ är samma sak som min olikhet $-1 < x^2;$ subtrahera Error converting from LaTeX to MathML från båda sidor i din olikhet.

Albiki

Svara

Visa senaste svar