Olikhet

Hej!

För att göra det så enkelt för dig som möjligt är det en bra idé om du kan skriva olikheten på formen

    $\frac{t(x)}{x^2-2}>0$

där det gäller att bestämma täljarpolynomet $t(x)$.

Sedan tänker du såhär: En kvot är positiv i två fall:

1. Täljaren är positiv och nämnaren är positiv, vilket betyder att $t(x)>0$ och $x^2-2>0$ samtidigt.

2. Täljaren är negativ och nämnaren är negativ, vilket betyder att $t(x)<>$ och $x^2-2<>$ samtidigt.

Hej, Albiki. Jag får,

1.X>+-sqrt(2)

2.X<+-sqrt(2)

Hur är detta till hjälp?

Hej, jag bumpar min tråd, jag behöver fortfarande hjälp.

Visa hur du har gjort steg för steg, inte bara ditt resultat. Det är omöjligt att veta vad (eller om) du har gjort fel, om du inte visar hur du har tänkt. Det är förmodligen därför du inte har fått några svar på ditt senaste inlägg.

Ditt sista inlägg i går innehöll inga beräkningar eller tankegångar alls - bara ett par påståenden.

Då kan ingen gissa hur du har tänkt och räknat, och vad ska vi då hjälpa till med?

Med all respekt gentemot er så vet jag inte vad ni talar om. Jag har tydligt och kortfattat beskrivit min tankegång och dessutom fotograferat vad jag har gjort. 

Smaragdalena,  vad menar du med ”bara ditt resultat?” Jag har inte angett något slutgiltigt resultat alls? Det du ser på pappret är allt jag har gjort.

Bubo, jag behöver hjälp med att lösa resterande delen av uppgiften. Jag skrev vad jag kommit fram till, hur jag tänkt och undrar om ni skulle angripit problemet på samma vis. Hur skulle ni har gjort? Hur kan ni hjälpa mig till svaret? 

Hur som helst, jag tar tar emot kritiken och ska försöka vara mer tydlig hädanefter. Det jag gjorde var utan riktigt någon bakomliggande tanke. Skulle eventuellt behöva hjälp med hela uppgiften. Ska jag göra ett teckensschema? Vad är den bästa metodologin? 

Plopp99 skrev:

Med all respekt gentemot er så vet jag inte vad ni talar om. Jag har tydligt och kortfattat beskrivit min tankegång och dessutom fotograferat vad jag har gjort. 

Smaragdalena, dad menar du med ”bara ditt resultat?” Jag har inte angett något slutgiltigt resultat alls?

Bubo, jag behöver hjälp med att lösa resterande delen av uppgiften. Jag skrev vad jag kommit fram till, hur jag tänkt och undrar om ni skulle angripit problemet på samma vis. Hur skulle ni har gjort? Hur kan ni hjälpa mig till svaret? 

 Jag skulle ha gjort så här:

1. Ta reda på för vilka $x$ som nämnaren $x^2-2$ är positiv och för vilka $x$ den är negativ.

2. Dela upp olikheten i två fall:

   A - Nämnaren är positiv. Då kan vi multiplicera med nämnaren som du har gjort och förenkla olikheten till $2x^2-3x-2<>$. Sedan skulle jag ha löst den olikheten och angivit det/de värden på $x$ som uppfyller villkoret att nämnaren är positiv som en del av lösningen.

   B - Nämnaren är negativ. Då måste vi byta riktning på olikheten när vi multiplicerar med nämnaren. Resulterande olikhet blir $2x^2-3x-2>0$. Sedan skulle jag ha löst den olikheten och angivit det/de värden på $x$ som uppfyller villkoret att nämnaren är negativ som en del av lösningen.

3. Sammanställ de olika lösningarna.

Ok, Yngve. Är detta bättre?

1. 

• Nämnaren är positiv för,  x>sqrt(2) och x<sqrt(2).
• Nämnaren är negativ för x>-sqrt(2) och x<sqrt(2).  

2.

•  Att nämnaren är positiv medför att olikhetens lösningar blir att x är mindre än 2 men större än minus 1/2.
• Att nämnaren är negativ medför att olikhetens lösningar blir att x är större än 2 men mindre än minus 1/2.

3. Jag förstår inte hur jag ska göra här! Detta är det jag nu mer specifikt behöver hjälp med. (Under förutsättningen att punkt 1 och 2 är korrekt.)

Plopp99 skrev:

Ok, Yngve. Är detta bättre?

1. 

• Nämnaren är positiv för,  x>sqrt(2) och x<sqrt(2).

Du tänker rätt men du saknar ett minustecken i andra villkoret. Det ska vara att nämnaren är positiv då $x>\sqrt{2}$ och då $x<>$.

Rita grafen till nämnaren $y=x^2-2$ så ser du det tydligt:

• Nämnaren är negativ för x>-sqrt(2) och x<sqrt(2).  

Ja det stämmer. Det kan kortare skrivas $-\sqrt{2}<><>$.

2.

•  Att nämnaren är positiv medför att olikhetens lösningar blir att x är mindre än 2 men större än minus 1/2.

Ja, men det är endast en del av dessa lösningar som är giltiga eftersom förutsättningen för att just denna olikhet skulle gälla var att $x>\sqrt{2}$ eller att $x<>$ (enligt resonemanget i 1). 

Det betyder att de giltiga lösningarna i detta fallet endast är $\sqrt{2}<><>$.

• Att nämnaren är negativ medför att olikhetens lösningar blir att x är större än 2 men mindre än minus 1/2.

Nej x kan inte samtidigt vara större än 2 och mindre än $-\frac{1}{2}$. Du menar att x är större än 2 eller att x är mindre än $-\frac{1}{2}$.

Då stämmer det, men samma sak gäller här, det är endast en del av dessa lösningar som är giltiga, eftersom förutsättningen för att just denna olikhet skulle gälla var att $-\sqrt{2}<><>$ (enligt resonemanget i 1). 

Det betyder att de giltiga lösningarna i detta fallet endast är $-\sqrt{2}<><>$.

3. Jag förstår inte hur jag ska göra här! Detta är det jag nu mer specifikt behöver hjälp med. (Under förutsättningen att punkt 1 och 2 är korrekt.)

Du ska bara sammanställa de giltiga lösningarna från de två fallen och presentera dem.

Albiki skrev:

Hej!

För att göra det så enkelt för dig som möjligt är det en bra idé om du kan skriva olikheten på formen

    $\frac{t(x)}{x^2-2}>0$

där det gäller att bestämma täljarpolynomet $t(x)$.

Sedan tänker du såhär: En kvot är positiv i två fall:

1. Täljaren är positiv och nämnaren är positiv, vilket betyder att $t(x)>0$ och $x^2-2>0$ samtidigt.

2. Täljaren är negativ och nämnaren är negativ, vilket betyder att $t(x)<>$ och $x^2-2<>$ samtidigt.

 Hej!

Olikheten kan skrivas 

    $\frac{-2x^2+3x+2}{x^2-2} > 0.$

Täljaren faktoriseras med PQ-formeln som $-2x^2+3x+2=2\cdot(2-x)(0.5+x)$ och nämnaren faktoriseras med Konjugatregeln som $x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$.

Olikheten som ska studeras är därför 

    $\frac{(2-x)(0.5+x)}{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}>0.$

Markera de fyra intressanta talen $-\sqrt{2}<><><>$ på tallinjen och studera kvotens tecken då talet $x$ rör sig bland dessa fyra tal; du är speciellt intresserad av områden där kvoten är positiv.

Tack så mycket Yngve! Nu förstår jag precis! Ditt svar är värt guld!

Hej, Albiki, tack för ditt svar! Det var ändå ett smidigt och nyanserat sett att se på det hela.