Olikhet

Hej, jag behöver hjälp med denna uppgift:

Min ofullständiga lösning:

1) Induktionsbasfall där jag satte in n=4 --> olikheten stämde

2)Induktionsantagande, n=p  $3^p>p^3$

3) Induktionssteg, n=p+1  $3^{p+1}>{(p+1)}^3$ -->   $3^{p+1}>p^3+3p^2+3p+1$

${\mathbf{3}}^{\mathbf{p}\mathbf{+}\mathbf{1}}\mathbf{-}{\mathit{p}}^{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{3}{\mathit{p}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathit{p}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{>}\mathbf{0}$

Seda utnyttjar vi induktionsantagandet, vi förlänger steg 2 med 3:  $3*3^p>3*p^3$

$$\begin{gathered} {\mathbf{3}}^{\mathbf{p}\mathbf{+}\mathbf{1}}\mathbf{-}{\mathit{p}}^{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{3}{\mathit{p}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathit{p}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{>}\mathbf{3}\mathbf{*}{\mathit{p}}^{\mathbf{3}}\mathbf{-}{\mathit{p}}^{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{3}{\mathit{p}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathit{p}\mathbf{-}\mathbf{1} \\ {\mathbf{3}}^{\mathbf{p}\mathbf{+}\mathbf{1}}\mathbf{-}{\mathit{p}}^{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{3}{\mathit{p}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathit{p}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{>}\mathbf{2}{\mathit{p}}^{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{3}{\mathit{p}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathit{p}\mathbf{-}\mathbf{1} \end{gathered}$$

$\mathbf{2}{\mathit{p}}^{\mathbf{3}}\mathbf{-}{\mathit{p}}^{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{3}{\mathit{p}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathit{p}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{\ge }\mathbf{0}$

Vet inte riktigt om jag tänkt rätt, (kan förklara mina steg mer norgrannt, det blev kanske lite otydligt).