Olikhet

2. Du kan dela upp olikheten i 3 olika fall, beroende på nämnarnas tecken.

Fall 1: x < -1

Då är x -1 < 0 och x + 1 < 0, dvs båda nämnarna är mindre än noll.

Om du då multiplicerar först med den ena och sedan med andra nämnaren så byter du riktning på olikhetstecknet två gånger. Slutresultatet blir $(x + 1)\geq a(x-1)$. Lös denna olikhet. Kontrollera att x ligger i intervallet.

Fall 2: -1 < x < 1

Då är x -1 < 0 och x + 1 > 0, dvs ena nämnaren är negativ och den andra nämnaren är positiv.

Om du då multiplicerar först med den ena och sedan med andra nämnaren så byter du riktning på olikhetstecknet en gång. Slutresultatet blir $(x + 1)\leq a(x-1)$. Lös denna olikhet. Kontrollera att x ligger i intervallet.

Fall 3: x > 1

Då är x -1 > 0 och x + 1 > 0, dvs båda nämnarna är positiva.

Om du då multiplicerar först med den ena och sedan med andra nämnaren så behöver du inte byta riktning på olikhetstecknet alls. Slutresultatet blir $(x + 1)\geq a(x-1)$. Lös denna olikhet. Kontrollera att x ligger i intervallet.

Tack Yngve! 

Kan du klargöra för mig varför svaret i facit endast är ”(a+1)/(a-1)”?

Plopp99 skrev :

Tack Yngve! 

Kan du klargöra för mig varför svaret i facit endast är ”(a+1)/(a-1)”?

Fall 1: x < -1

Om det finns en lösning till olikheten i detta intervall så gäller att lösningen är $x\le \frac{a+1}{a-1}$.

Eftersom x < -1 i detta intervall så ges lösningen av det "hårdaste" villkoret på x.

Eftersom a > 1 så är $\frac{a+1}{a-1}>1$, så det "hårdaste" villkoret på x är x < -1 i detta intervall.

Olikheten har lösningen x < 1 i detta intervall

Fall 2: -1 < x < 1

Om det finns en lösning till olikheten i detta intervall så gäller att lösningen är $x\ge \frac{a+1}{a-1}$.

På samma sätt, eftersom a > 1 så är $\frac{a+1}{a-1}>1$, vilket betyder att x > 1.

Men i detta intervall så är ju -1 < x < 1, vilket betyder att lösning saknas i detta intervall.

Olikheten saknar lösning i detta intervall

Fall 3: x > 1

Om det finns en lösning till olikheten i detta intervall så gäller att lösningen är $x\le \frac{a+1}{a-1}$.

På samma sätt, eftersom a > 1 så är $\frac{a+1}{a-1}>1>-1$.

Olikhetens lösning i detta intervall är $x\le \frac{a+1}{a-1}$

-------------------------------------------------------------------------------------

Slutsats: Olikhetens största lösning är $x=\frac{a+1}{a-1}$.

Hej!

Olikheten skrivs

    $\frac{a}{x+1}-\frac{1}{x-1} \leq 0 \ .$

Skriv bråken på gemensam nämnare.

    $\frac{a(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)} \leq 0 \ .$

Förenkla täljaren och nämnaren.

    $\frac{(a-1)x-(a+1)}{x^2-1} \leq 0 \ .$

Kvoten är negativ om täljaren är negativ och nämnaren positiv eller om täljaren är positiv och nämnaren är negativ.

Täljaren negativ och nämnaren positiv: $(a-1)x-(a+1) < 0$ och $x^2-1 > 0$. Du vet att $a-1$ är ett positivt tal så att du kan skriva $x < \frac{a+1}{a-1}$ och ($x> 1$  eller $x<-1$). Du kan skriva

    $\frac{a+1}{a-1} = \frac{a-1+2}{a-1} = 1 + \frac{2}{a-1}$

så du ser att denna kvot är större än $1.$  Det gäller alltså att

    $1 < x < 1 + \frac{2}{a-1}$ eller $x < -1.$

Täljaren positiv och nämnaren negativ: $(a-1)x-(a+1) > 0$ och $x^2-1 < 0$. Detta är samma sak som att $x > 1+\frac{2}{a-1}$ och $-1 < x < 1$ vilket är omöjligt eftersom $a-1 > 0.$

Sammanfattning: Olikhetens största lösning skulle kunna vara $x = 1 + \frac{2}{a-1}.$ Uppfyller detta tal olikheten?

    Kontrollera:

• Olikhetens vänstra led är $\frac{1}{x-1} = \frac{a-1}{2}.$
• Olikhetens högra led är $\frac{a}{x+1} = \frac{a}{2+\frac{2}{a-1}}= \frac{a-1}{2}.$

Det högra ledet är lika med det vänstra ledet, så olikhetens största lösning är faktiskt $x = 1 + \frac{2}{a-1}\ .$

Albiki

Hej Albiki.

Tack för ditt lösningsförslag. Det var klockrent! Jag gillar det verkligen och lärde mig massor!