5 svar
1745 visningar
Plopp99 behöver inte mer hjälp
Plopp99 265
Postad: 18 jan 2018 19:46 Redigerad: 18 jan 2018 19:47

Olikhet

Jag har ingen arning hur jag ska angripa problemet. Det jag ser är att x inte får vara lika med 1 och -1. Sedan byter olikhetstecknet sida vid multiplikation eller division med ett negativt tal. Att multiplicera upp nämnarna vågar jag inte då jag inte vet om de är positiva eller negativa, olikhetstecknets riktning kanske riktas åt ett felaktigt håll. Jag testade i alla fall det men det ledde heller inte någon vart. 

Behöver assistans med:

1.Generell angripningsmetodologi när det kommer till olikheter.

2. Vägledning genom denna olikheten.

 

Tack på förhand! 

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 18 jan 2018 20:21 Redigerad: 18 jan 2018 20:23

2. Du kan dela upp olikheten i 3 olika fall, beroende på nämnarnas tecken.

Fall 1: x < -1

Då är x -1 < 0 och x + 1 < 0, dvs båda nämnarna är mindre än noll.

Om du då multiplicerar först med den ena och sedan med andra nämnaren så byter du riktning på olikhetstecknet två gånger. Slutresultatet blir (x+1)a(x-1) (x + 1)\geq a(x-1) . Lös denna olikhet. Kontrollera att x ligger i intervallet.

Fall 2: -1 < x < 1

Då är x -1 < 0 och x + 1 > 0, dvs ena nämnaren är negativ och den andra nämnaren är positiv.

Om du då multiplicerar först med den ena och sedan med andra nämnaren så byter du riktning på olikhetstecknet en gång. Slutresultatet blir (x+1)a(x-1) (x + 1)\leq a(x-1) . Lös denna olikhet. Kontrollera att x ligger i intervallet.

Fall 3: x > 1

Då är x -1 > 0 och x + 1 > 0, dvs båda nämnarna är positiva.

Om du då multiplicerar först med den ena och sedan med andra nämnaren så behöver du inte byta riktning på olikhetstecknet alls. Slutresultatet blir (x+1)a(x-1) (x + 1)\geq a(x-1) . Lös denna olikhet. Kontrollera att x ligger i intervallet.

Plopp99 265
Postad: 18 jan 2018 21:04

Tack Yngve! 

Kan du klargöra för mig varför svaret i facit endast är ”(a+1)/(a-1)”?

Yngve 40279 – Livehjälpare
Postad: 18 jan 2018 21:40 Redigerad: 18 jan 2018 21:47
Plopp99 skrev :

Tack Yngve! 

Kan du klargöra för mig varför svaret i facit endast är ”(a+1)/(a-1)”?

Fall 1: x < -1

Om det finns en lösning till olikheten i detta intervall så gäller att lösningen är xa+1a-1.

Eftersom x < -1 i detta intervall så ges lösningen av det "hårdaste" villkoret på x.

Eftersom a > 1 så är a+1a-1>1, så det "hårdaste" villkoret på x är x < -1 i detta intervall.

Olikheten har lösningen x < 1 i detta intervall

Fall 2: -1 < x < 1

Om det finns en lösning till olikheten i detta intervall så gäller att lösningen är xa+1a-1.

På samma sätt, eftersom a > 1 så är a+1a-1>1, vilket betyder att x > 1.

Men i detta intervall så är ju -1 < x < 1, vilket betyder att lösning saknas i detta intervall.

Olikheten saknar lösning i detta intervall

Fall 3: x > 1

Om det finns en lösning till olikheten i detta intervall så gäller att lösningen är xa+1a-1.

På samma sätt, eftersom a > 1 så är a+1a-1>1>-1.

Olikhetens lösning i detta intervall är xa+1a-1

-------------------------------------------------------------------------------------

Slutsats: Olikhetens största lösning är x=a+1a-1.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 19 jan 2018 15:18

Hej!

Olikheten skrivs

    ax+1-1x-10 . \frac{a}{x+1}-\frac{1}{x-1} \leq 0 \ .

Skriv bråken på gemensam nämnare.

    a(x-1)-(x+1)(x+1)(x-1)0 . \frac{a(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)} \leq 0 \ .

Förenkla täljaren och nämnaren.

    (a-1)x-(a+1)x2-10 . \frac{(a-1)x-(a+1)}{x^2-1} \leq 0 \ .

Kvoten är negativ om täljaren är negativ och nämnaren positiv eller om täljaren är positiv och nämnaren är negativ.

Täljaren negativ och nämnaren positiv: (a-1)x-(a+1)<0 (a-1)x-(a+1) < 0 och x2-1>0 x^2-1 > 0 . Du vet att a-1 a-1 är ett positivt tal så att du kan skriva x<a+1a-1 x < \frac{a+1}{a-1} och ( x>1 x> 1   eller x<-1 x<-1 ). Du kan skriva

    a+1a-1=a-1+2a-1=1+2a-1 \frac{a+1}{a-1} = \frac{a-1+2}{a-1} = 1 + \frac{2}{a-1}

så du ser att denna kvot är större än 1. 1.   Det gäller alltså att

    1<x<1+2a-1 1 < x < 1 + \frac{2}{a-1} eller x<-1. x < -1.

Täljaren positiv och nämnaren negativ: (a-1)x-(a+1)>0 (a-1)x-(a+1) > 0 och x2-1<0 x^2-1 < 0 . Detta är samma sak som att x>1+2a-1 x > 1+\frac{2}{a-1} och -1<x<1 -1 < x < 1 vilket är omöjligt eftersom a-1>0. a-1 > 0.

Sammanfattning: Olikhetens största lösning skulle kunna vara x=1+2a-1. x = 1 + \frac{2}{a-1}. Uppfyller detta tal olikheten?

    Kontrollera:

  • Olikhetens vänstra led är 1x-1=a-12. \frac{1}{x-1} = \frac{a-1}{2}.
  • Olikhetens högra led är ax+1=a2+2a-1=a-12. \frac{a}{x+1} = \frac{a}{2+\frac{2}{a-1}}= \frac{a-1}{2}.

Det högra ledet är lika med det vänstra ledet, så olikhetens största lösning är faktiskt x=1+2a-1 . x = 1 + \frac{2}{a-1}\ .

Albiki

Plopp99 265
Postad: 19 jan 2018 18:02 Redigerad: 19 jan 2018 18:24

Hej Albiki.

Tack för ditt lösningsförslag. Det var klockrent! Jag gillar det verkligen och lärde mig massor!

Svara
Close