Olikhet

gulfi52 skrev :

man ska lösa olikheten. Ekvationen vet jag har rötterna x=1 och x=2 men hur får man in detta till ett svar med >= tecken?

Det beror helt på hur olikheten ser ut.

Visa olikheten. Visa hur du löser den.

Yngve skrev :

gulfi52 skrev :

man ska lösa olikheten. Ekvationen vet jag har rötterna x=1 och x=2 men hur får man in detta till ett svar med >= tecken?

Det beror helt på hur olikheten ser ut.

Visa olikheten. Visa hur du löser den.

Glömde bilden! Finns i trådstarten nu :)

gulfi52 skrev :

Yngve skrev :

Visa föregående citat

gulfi52 skrev :

man ska lösa olikheten. Ekvationen vet jag har rötterna x=1 och x=2 men hur får man in detta till ett svar med >= tecken?

Det beror helt på hur olikheten ser ut.

Visa olikheten. Visa hur du löser den.

Glömde bilden! Finns i trådstarten nu :)

OK enklast är nog att snabbskissa grafen till funktionen $f\left(x\right)=x^2-3x+2$.

Den ser ut som en glad mun eller hur (positiv koefficient framför $x^2$-termen)?

Olikheten är uppfylld i de intervall där grafen ligger på eller ovanför x-axeln. 

Du har tagit reda på de x-koordinater där grafen skär x-axeln.

Nu kan du nog klura ut hur du ska vända olikhetstecknen eller hur?

Vi vet att x^2 är den dominerande delen av uttrycket, dvs funktionen växer både då x går upp mot "+ oändligt" och då x går ner mot "- oändligt". Då måste x vara utanför intervallet (1,2) för att uttrycket är ">=0".

Yngve:

hm... jo jag tror jag är med, dock har jag just detta problem, med hur man ska få ihop svaret, på andra uppgifter där vi inte ska rita så undrar ändå...

Efter du tagit fram rötterna kan du skriva om olikheten som:

$(x-2)(x-1) \ge 0$

För att en produkt med två faktorer ska vara $\ge 0$ måste antingen båda faktorerna $\ge 0$ eller $\le 0$. När är det så i detta fall?

Du kan även beräkna detta rent algebraiskt med hjälp av pq-formeln eller kvadratkomplettering. Men du måste vara noga med tecknen när du kommer fram till steget där du ska dra roten ur kvadratuttrycket.

Exempel: Om du har olikheten $a^2\ge 4$ så finns det två fall:

1. a är positiv. Då gäller att $a\ge 2$
2. a är negativ. Då gäller att $a\le -2$

 I ditt fall lyder olikheten som följer: $x^2-3x+2\ge 0$.

Om du till exempel använder kvadratkomplettering av du alltid välja att kvadratkomplettera $f\left(x\right)=x^2-3x+2$:

$f\left(x\right)=x^2-3x+2=x^2-3x+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+2-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2$

$f\left(x\right)={\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+2-\frac{9}{4}={\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}$

Olikheten $f\left(x\right)\ge 0$ kan då skrivas som

${\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}\ge 0$

Addera 1/4 till båda sidor:

${\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2\ge \frac{1}{4}$

Dra nu roten ur bägge sidor, då är det två fall att ta hänsyn till:

1.  $\left(x-\frac{3}{2}\right)$ är positiv. Då gäller att $\left(x-\frac{3}{2}\right)\ge \sqrt{\frac{1}{4}}$, vilket innebär att $x\ge \frac{1}{2}+\frac{3}{2}$
2. $\left(x-\frac{3}{2}\right)$ är negativ. Då gäller att $\left(x-\frac{3}{2}\right)\le -\sqrt{\frac{1}{4}}$, vilket innebär att $x\le -\frac{1}{2}+\frac{3}{2}$

Jag kanske är med - men vill fråga varför man inte gör som hag gjorde och försöker använda rötterna till x^2 ekvationen? 

gulfi52 skrev :

Jag kanske är med - men vill fråga varför man inte gör som hag gjorde och försöker använda rötterna till x^2 ekvationen? 

Jo det kan man göra. Och det var det jag försökte beskriva i detta svar.

Men jag trodde att du ville ha en alternativ algebraisk lösning.