Olikhet

Sättet du kan göra på är att skriva om den som

$$\begin{gathered} \frac{2}{x-1}-5\ge 0 \\ \frac{2-5(x - 1)}{x - 1}\ge 0 \\ \frac{7-5x}{x-1}\ge 0 \end{gathered}$$

Nu kan man göra en teckentabell

$\begin{array}{cccccc}x& & 1& & 7/5& \\ 7-5x& +& +& +& 0& -\\ x-1& -& 0& +& +& +\end{array}$

Man har alltså att bråket är positivt om täljaren och nämnaren har samma tecken. Detta innebär att olikheten gäller då $1 < x \le 7/5$.

EulerWannabe skrev :

$$\begin{gathered} \frac{2}{x-1}\ge 5 \\ 2\ge 5x-5 \\ 7\ge 5x \\ \frac{7}{5}\ge x \end{gathered}$$

Men x är ju även större än 1 också. För annars blir bråket negativt (eller odefinierat) där i första ledet. Så lösningen är inte fullständig.

Hur ska man göra för att hitta en metod som verkligen gör att det blir fullständigt? Alternativt: vad gör jag för FEL när jag försöker lösa olikheten på detta vis? Vad ska man tänka på?

--

Vänligen,

EulerWannabe

Du kan lösa olikheten algebraiskt som du gör om du bara kommer ihåg att vända på olikhetstecknet i de fall då du multiplicerar (eller dividerar) båda sidor med ett negativt tal.

Dela alltså upp olikheten i två fall:

Fall 1: Nämnaren (x - 1) > 0, dvs x > 1.

Då multiplicerar du med ett positivt tal och du behöver alltså inte vända på olikhetstecknet.

Då kan du lösa olikheten precis som du har gjort, men lösningen är endast giltig under förutsättningen för fall 1, dvs att x > 1.

Fall 2: Nämnaren (x - 1) < 0, dvs x < 1.

Då multiplicerar du med ett negativt tal och du behöver då vända på olikhetstecknet.

Din olikhet kan då skrivas $2\leq 5x-5$, med lösningen $x\geq \frac{7}{5}$. Denna lösning är dock inte giltig eftersom förutsättningen för fall 2 var att x < 1.

(Ingen av dessa lösningar är den ogiltiga x = 1.)

 Aha! Så faktumet att man måste vända på olikhetstecknet då man multiplicerar eller dividerar båda sidor med ett negativt tal gör att denna lösning blir ogiltig! Därför fungerar inte en sådan algebraisk lösning utan man måste dela upp det i två fall så som Ynge visar. Boken visar dock Stokastisks metod.

Intressant och tack för svar. Nu vet jag vilken regel som gör att det där inte funkade, nämligen att man vänder på olikhetstecknet då man multiplicerar eller dividerar med ett negativt tal.

Tack!