Olikhet

Om man har tur, så är någon rot till tredjegradsekvationen ett heltal.

Ifall det är så, så är den roten en delare till konstanttermen. I det här fallet är konstanttermen 2. (Det ser kanske ut som om den är 4, men man måste skriva om ekvationen så att koefficienten för x^3-termen är 1. Dela alltså med 2)

De heltal som är delare till 2 är   -2, -1, 1 och 2. Är något av dessa tal en rot till ekvationen?

-1 är en rot, 4a hade varit en rot annars.... Men har för få rötter nu med enbart -1 som gilltig rot.. kommer ingen vart med enbart den?

Visst är 4 en rot. 

Jag råkade skriva fel, men visst är 4 också en rot. Det jag har svårt för är att just hitta rötterna. Om man inte kände till att 4a är en rot. Hur gör man då? Antar man bara rötter och sedan testar? Hade man med hjälp av enbart roten -1 ta reda på 4a? 

Hur bär man sig åt för att ta reda på den tredje roten?

1PLUS2 skrev :

Jag råkade skriva fel, men visst är 4 också en rot. Det jag har svårt för är att just hitta rötterna. Om man inte kände till att 4a är en rot. Hur gör man då? Antar man bara rötter och sedan testar? Hade man med hjälp av enbart roten -1 ta reda på 4a? 

Hur bär man sig åt för att ta reda på den tredje roten?

Om $x_1$ är ett nollställe till polynomet $P(x)$ (dvs en rot till ekvationen $P(x)=0$), så är $(x-x_1)$ en faktor i polynomet $P(x)$.

Det betyder att $P(x)=(x-x_1)\cdot Q(x)$, där $Q(x)$ är ett polynom med ett gradtal lägre än $P(x)$.

Du kan nu bestämma $Q(x)$ med hjälp av polynomdivision: $Q(x)=\frac{P(x)}{x-x_1}$.

Ett annat samband man kan utnyttja är att

$(x-x_1)·(x-x_2)·(x-x_3) = 0$

är en tredjegradsekvation med rötter $x_1 x_2 x_3$, alltså SAMMA ekvation som vi utgick från (sånär som på en konstant.) Multiplicera ihop parenteserna, så är det praktiskt taget klart:

$(x+1)·(x-4)·(x-x_3) = 2x^3-7x^{2 }-5x+4$  stämmer ju inte riktigt, men

$2·(x+1)·(x-4)·(x-x_3) = 2x^3-7x^{2 }-5x+4$ blir rätt.

Vänsterledet har nollställena -1, 4 och x3, precis som högerledet.