Olika svar beroende på metod, vid determinanträkning

Ordning $n\ge 2$

$\left|\begin{array}{ccccc}x& 0& 0& \cdots & 1\\ 0& x& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& x& \ddots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 0& 0& \cdots & x\end{array}\right|$

Tillåtna (nollskilda) produkter blir ju:

$$\begin{gathered} 1) x^n \\ 2) 1 ·x^{n-2}·1=x^{n-2} \end{gathered}$$

$x^n blir positiv ty noll negativa par.$

För att bestämma tecken för term 2 kollar jag på antalet inversioner, som är precis samma som antalet negativa par.

Produkt 2 kan skrivas såhär:

$a_{1n}{a}_{22}{a}_{33}...a_{(n-1)(n-1)}{a}_{n1}$

Vilket betyder att sviten av kolonnindex är följande:

n, 2, 3, ..., n-1, 1

2,3,...,n-1, 1 föregås av n => (n-1) inversioner

1 föregås av (n-1) => 1 inversion

Så totalt n inversioner => tecknet framför produkt 2) blir ${(-1)}^n$

Totalt blir det $x^n+{(-1)}^n{x}^{n-2}=x^{n-2}(x^2+{(-1)}^n)$

Om man istället löser såhär:

$$\begin{gathered} \left|\begin{array}{ccccc}x& 0& 0& \cdots & 1\\ 0& x& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& x& \ddots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 0& 0& \cdots & x\end{array}\right|=\left[rad n-\frac{1}{x}·rad 1\right]=\left|\begin{array}{ccccc}x& 0& 0& \cdots & 1\\ 0& x& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& x& \ddots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & x-\frac{1}{x}\end{array}\right| \\ Då den är övertriangulär blir determinanten produkten av diagonalen: \\ {x}^{n-1}\left(x-\frac{1}{x}\right)=x^{n-2}\left(x^2-1\right) \end{gathered}$$

Så frågan är nu, vad är det jag gör för fel i metod 1? Där beror tecknet på term 2, på om n är jämnt eller udda. Men det korrekta svaret fås ut genom metod 2. Skulle gärna vilja kunna lösa dessa genom de två olika metoderna (om det nu är möjligt?)