Olika metoder för kombinatorik

Det finns två stora kategorier av frågor inom kombinatorik. Tankesättet är detsamma, men metoden skiljer sig något.

1. Ordningen är viktig: Om vi ska välja ordförande och sekreterare är det en stor skillnad på om Hans blir ordförande och Kim blir sekreterare, eller om Kim blir ordförande och Hans blir sekreterare. Då tittar vi på antalet valmöjligheter vid första valet (ordförande), och multiplicerar med antalet möjligheter för det andra valet (sekreterare), vilket ger oss det totala antalet möjliga utfall. 
   
   Här finns en sak som är viktig att komma ihåg, och det är huruvida varje person kan bli vald flera gånger eller inte. Kim kan inte bli både ordförande och sekreterare. Då kommer vi att få ett alternativ mindre vid det andra valet (till sekreterare), eftersom en person är tillsatt som ordförande. Om vi däremot tänker oss en tipspromenad med fem frågor, är det möjligt att svara samma sak på alla frågor (om än något osannolikt). Det innebär att vi har tre alternativ vid fråga ett, tre alternativ vid fråga två, osv, vilket ger uträkningen $M=3·3·3·3·3=3^5$. 
2. Ordningen är inte viktig: Om vi ska göra fruktsallad, och ska välja tre frukter utav fem möjliga, spelar det ingen roll om vi tar apelsinen först, och äpplet sedan (så länge vi undviker physalis, usch! :) ). Det innebär att alternativet äpple/apelsin/kiwi är samma sak som kiwi/apelsin/äpple, vilket i sin tur är samma sak som kiwi/äpple/apelsin, m.fl. Då börjar vi som vi gjorde vid tillsättningen av ordförande och sekreterare ovan. Den första frukten kan väljas på fem olika sätt. Den andra frukten kan väljas på fyra olika sätt, och den sista frukten kan väljas på tre olika sätt. Det ger $5·4·3=60$ alternativ. 
   
   Nu måste vi dock hålla tungan rätt i mun. Det finns tre platser i scenariot vi valt, men ordningen av dessa spelar ingen roll. Om vi tar en frukt, säg kiwin, kan den stå på plats ett, två eller tre i kön. Nästa frukt, apelsinen, kan stå på två platser i kön, och äpplet kan stå på en plats. Det innebär att det finns $3·2=6$ likadana uppsättningar av varje fruktsallad bland våra alternativ vi beräknat ovan. Därför måste vi dividera antalet alternativ med antalet duplikationer, vilket ger oss vårt svar, 10 olika fruktsallader. 

Smutstvätt skrev :

Ordningen är viktig:

Betyder det att om det finns 3 saker som hette A,B så det kombination AB och BC kan inte vara samma sak?

Ordningen är viktig: Om vi ska välja ordförande och sekreterare är det en stor skillnad på om Hans blir ordförande och Kim blir sekreterare, eller om Kim blir ordförande och Hans blir sekreterare. Då tittar vi på antalet valmöjligheter vid första valet (ordförande), och multiplicerar med antalet möjligheter för det andra valet (sekreterare), vilket ger oss det totala antalet möjliga utfall. 

Så du menar att man använder samma metod som Method 3 ?

Här finns en sak som är viktig att komma ihåg, och det är huruvida varje person kan bli vald flera gånger eller inte. Kim kan inte bli både ordförande och sekreterare. Då kommer vi att få ett alternativ mindre vid det andra valet (till sekreterare), eftersom en person är tillsatt som ordförande.

Menar du att om man blir vald flera ggr då kan man använda method 2 annars man får använda method 3?

Om vi däremot tänker oss en tipspromenad med fem frågor, är det möjligt att svara samma sak på alla frågor (om än något osannolikt). Det innebär att vi har tre alternativ vid fråga ett, tre alternativ vid fråga två, osv, vilket ger uträkningen $M=3·3·3·3·3=3^5$. 

 Jag gjorde den här produktkod fråga som liknar din exempel

PIN-koder innehåller i regel 4 olika siffror, 0-9.

Varje siffra kan användas flera gånger i koden.

Hur många möjliga varianter av PIN-koder finns det?

då var svaret så att antal element^plats 

I din exempel du räknar samma sak alltså antal element= de tre svarsalternativ och plats = antal frågor?

 

Ordningen är inte viktig: Om vi ska göra fruktsallad, och ska välja tre frukter utav fem möjliga, spelar det ingen roll om vi tar apelsinen först, och äpplet sedan (så länge vi undviker physalis, usch! :) ). Det innebär att alternativet äpple/apelsin/kiwi är samma sak som kiwi/apelsin/äpple, vilket i sin tur är samma sak som kiwi/äpple/apelsin, m.fl. Då börjar vi som vi gjorde vid tillsättningen av ordförande och sekreterare ovan. Den första frukten kan väljas på fem olika sätt. Den andra frukten kan väljas på fyra olika sätt, och den sista frukten kan väljas på tre olika sätt. Det ger $5·4·3=60$ alternativ. Nu måste vi dock hålla tungan rätt i mun. Det finns tre platser i scenariot vi valt, men ordningen av dessa spelar ingen roll. Om vi tar en frukt, säg kiwin, kan den stå på plats ett, två eller tre i kön. Nästa frukt, apelsinen, kan stå på två platser i kön, och äpplet kan stå på en plats. Det innebär att det finns 3 times 2 equals 6 likadana uppsättningar av varje fruktsallad bland våra alternativ vi beräknat ovan. Därför måste vi dividera antalet alternativ med antalet duplikationer, vilket ger oss vårt svar, 10 olika fruktsallader.

 Är din method samma sak som method 4?

paruthy18 skrev :

Smutstvätt skrev :

Ordningen är viktig:

Betyder det att om det finns 3 saker som hette A,B så det kombination AB och BC kan inte vara samma sak?

Nej, men då handlar det om att det är olika element. Däremot innebär det att A, B inte är samma sak som B, A.

Ordningen är viktig: Om vi ska välja ordförande och sekreterare är det en stor skillnad på om Hans blir ordförande och Kim blir sekreterare, eller om Kim blir ordförande och Hans blir sekreterare. Då tittar vi på antalet valmöjligheter vid första valet (ordförande), och multiplicerar med antalet möjligheter för det andra valet (sekreterare), vilket ger oss det totala antalet möjliga utfall. 

Så du menar att man använder samma metod som Method 3 ?

Ja, det stämmer. 

Här finns en sak som är viktig att komma ihåg, och det är huruvida varje person kan bli vald flera gånger eller inte. Kim kan inte bli både ordförande och sekreterare. Då kommer vi att få ett alternativ mindre vid det andra valet (till sekreterare), eftersom en person är tillsatt som ordförande.

Menar du att om man blir vald flera ggr då kan man använda method 2 annars man får använda method 3?

Precis!

Om vi däremot tänker oss en tipspromenad med fem frågor, är det möjligt att svara samma sak på alla frågor (om än något osannolikt). Det innebär att vi har tre alternativ vid fråga ett, tre alternativ vid fråga två, osv, vilket ger uträkningen $M=3·3·3·3·3=3^5$. 

 Jag gjorde den här produktkod fråga som liknar din exempel

PIN-koder innehåller i regel 4 olika siffror, 0-9.

Varje siffra kan användas flera gånger i koden.

Hur många möjliga varianter av PIN-koder finns det?

då var svaret så att antal element^plats 

I din exempel du räknar samma sak alltså antal element= de tre svarsalternativ och plats = antal frågor?

Ja. Här finns det tio alternativ (0 - 9), och varje kan väljas flera gånger. Det ger $10·10·10·10={10}^4$ möjligheter.

1. Ordningen är inte viktig: Om vi ska göra fruktsallad, och ska välja tre frukter utav fem möjliga, spelar det ingen roll om vi tar apelsinen först, och äpplet sedan (så länge vi undviker physalis, usch! :) ). Det innebär att alternativet äpple/apelsin/kiwi är samma sak som kiwi/apelsin/äpple, vilket i sin tur är samma sak som kiwi/äpple/apelsin, m.fl. Då börjar vi som vi gjorde vid tillsättningen av ordförande och sekreterare ovan. Den första frukten kan väljas på fem olika sätt. Den andra frukten kan väljas på fyra olika sätt, och den sista frukten kan väljas på tre olika sätt. Det ger $5·4·3=60$ alternativ. Nu måste vi dock hålla tungan rätt i mun. Det finns tre platser i scenariot vi valt, men ordningen av dessa spelar ingen roll. Om vi tar en frukt, säg kiwin, kan den stå på plats ett, två eller tre i kön. Nästa frukt, apelsinen, kan stå på två platser i kön, och äpplet kan stå på en plats. Det innebär att det finns 3 times 2 equals 6 likadana uppsättningar av varje fruktsallad bland våra alternativ vi beräknat ovan. Därför måste vi dividera antalet alternativ med antalet duplikationer, vilket ger oss vårt svar, 10 olika fruktsallader. 

   Är din method samma sak som method 4?

Ja, men den formeln lär man sig om i Matte 5 på gymnasiet. Om du känner dig bekväm med den, och kan förklara hur den fungerar, kör på den!

Smutstvätt skrev :

Ja, men den formeln lär man sig om i Matte 5 på gymnasiet. Om du känner dig bekväm med den, och kan förklara hur den fungerar, kör på den!

 Ja, jag tycker att det bekväm med den än det svåra som finns i 9ans boken!

Smutstvätt skrev :

PIN-koder innehåller i regel 4 olika siffror, 0-9.

Varje siffra kan användas flera gånger i koden.

Hur många möjliga varianter av PIN-koder finns det?

då var svaret så att antal element^plats 

I din exempel du räknar samma sak alltså antal element= de tre svarsalternativ och plats = antal frågor?

Ja. Här finns det tio alternativ (0 - 9), och varje kan väljas flera gånger. Det ger $10·10·10·10={10}^4$ möjligheter.

Det här , om vilket ska vara exponent och vilket ska vara bas blir jag förvirrad ofta . Finns det nåt sätt att hitta det lätt? 

Kör på den formeln i sådant fall. Kom dock ihåg att du kan komma att behöva förklara lite övergripande hur den fungerar, eftersom den inte är allmänt vedertagen på denna nivå.

Lätt sätt: Skriv ut antalet alternativ du har på varje fråga. Om det är A/B/C/D, har du fyra alternativ. Sedan skriver du upp antalet gånger du har detta alternativ (säg att det är sju frågor), som en produkt. Då får du att $4·4·4·4·4·4·4=4^7$. Basen är alltid antalet alternativ, och exponenten antalet gånger du måste välja ett alternativ. 

 Tack så mycket för ett stort hjälp, nu förstår jag om det här men ska kolla lite om den där överkurs förmeln.