Olika integrationstekniker

Öva, öva, öva. Det som är svårt med integraler är att du måste lära dig genom att öva. Det finns typexempel att utgå ifrån när man lär sig men sedan är variationen så hög att du helt enkelt måste skaffa dig erfarenhet. 

Många gånger handlar det också om att veta tekniken och testa dig fram. Lära dig identifiera när tekniken inte fungerat och avbryta ditt försök. Detta helst i så god tid att ditt försök inte kostat dig halva skrivningstiden.

Min universitetslektor sa alltid: "Att derivera är enkelt, du behöver bara lära dig reglerna. Att integrera är ett hantverk, du blir bättre ju mer du tränar"

Det finns lite mönster du kan hålla utkik efter. Till exempel, så används substitution ofta när man har någon  kombination av en funktion och dess inre derivata. Partiell integration kan ofta användas om en del av produkten går att "derivera bort", t ex om en faktor är ett polynom. Ibland är dessa mönster i praktiken helt omöjliga att se, och då krävs erfarenhet och många gånger måste man helt enkelt testa sig fram.

ÖVA.

Men jag kan dela med mig av lite observationer.

Trigonometriska substitutioner då du kan få till trigonometriska ettan (speciellt under en rot, då blir det trevligt).

Substitution lämpar sig då det är helt uppenbart att funktionen inte går att förenkla eller lösa på ett annat sätt, tex cos(polynom).

En annan sak angående substitution med u=f(x) är att du alltid kan sätta in x=f(-1)(x) ifall f(x) inte finns färdig i integranden!

Partiell integration när ett polynom finns (och kan förvinna), eller lite fiffigare när någon funktions derivata är enklare att handskas med, tex integera arctan.

Partialbråksuppdelning vet du nog.

Till exempel, så används substitution ofta när man har någon  kombination av en funktion och dess inre derivata. 

Menar du t.ex 2x*cos(x^2)?

Qetsiyah skrev:

ÖVA.

Men jag kan dela med mig av lite observationer.

Trigonometriska substitutioner då du kan få till trigonometriska ettan (speciellt under en rot, då blir det trevligt).

Substitution lämpar sig då det är helt uppenbart att funktionen inte går att förenkla eller lösa på ett annat sätt, tex cos(polynom).

En annan sak angående substitution med u=f(x) är att du alltid kan sätta in x=f(-1)(x) ifall f(x) inte finns färdig i integranden!

Partiell integration när ett polynom finns (och kan förvinna), eller lite fiffigare när någon funktions derivata är enklare att handskas med, tex integera arctan.

Partialbråksuppdelning vet du nog.

Kan du ge exampel på det du har skrivit är du snäll? Typ första stycket. Men gärna alla :)

Soderstrom skrev:

Till exempel, så används substitution ofta när man har någon  kombination av en funktion och dess inre derivata. 

Menar du t.ex 2x*cos(x^2)?

Ja. Men det skulle inte göra nåt om det istället stod 3x eller bara x.

Soderstrom skrev:

Kan du ge exampel på det du har skrivit är du snäll? Typ första stycket. Men gärna alla :)

Ja det kan jag. 

1. Klassiskt exempel att integrera ∫√(1-x^2)dx. Då gör du en trig-substitution. Prova själv!

2. I think you understand this.

3. Jag kan inte komma på ett bra exempel, så du får nöja dig med ett dåligt exempel: ∫cos(x²)dx. Here you can notice that there is no 2x outside. What i meant to tell is that that doesnt have stop you from substituting anyway because u=x² du=2xdx=2√(u)dx. So the integrand becomes actually ∫1/(2√(u))*cos(u)du. The reason this example sucks is this integral is not prettier than the original one.

4. If ∫f(x)g(x)dx and f is a polynomial and g is easy to integrate, then partial integration is the way to go. But it is also useful in another case where we pretend to have another function f(x)=1 which is easy to integrate of course. The other function we differentiate and it becomes easy.

Och anledningen jag skrev på engelska är för att jag har ett mattetangentbord som inte har åäö