Oklar användning av variabler (Matematik/Matte 4)

G och H är inte lika med Mg respektive mg. Gungbrädan kommer ju att röra sig.

OK. Vad betyder variablerna G och H? Vad är det för kraft?

Krafterna definieras på bilden.

Ok. Varför blir $F = \frac{4 m M g}{m + M}$ ?

Är du på det klara med hur man kom fram till ekvationssystemet ett par rader högre upp?

Ja, det är pga momentanjämvikt och kraftjämvikt.

Förstår du det som står på nästa rad?

Ja, accelerationen för kroppen till vänster kommer vara lika stor som kroppen till höger.

Man har löst ut F ur den ekvationen (man har inte tagit med det allra första ledet, d v s a).

Hej! Ursäkta att jag lägger mig i. Är inte G = Mg? :-S

Jo, jag uttrycket mig fel. Först satte man namn på de olika krafterna, därefter konstaterade man att G=Mgoch H=mg.

Jo, tänkte också det Juniverse. Men räknade på det och svaret blir fel då. Vilket led är a) Smaragdalena?

Man har uttryckt accelerationen på två olika sätt, och då behöver man inte accelerationen mer - den har gjort sitt.

Ok, men facit anger att Ma = Mg - G vilket (om G = Mg) blir noll. Vad är det jag missar?

Jag läste för dåligt (trodde jag kom ihåg) och G är inte samma som Mg, för i så fall skulle gungbrädan vara i jämvikt, och det är den ju inte. Det tunga barnet kommer ju att röra sig neråt och det lilla barnet uppåd när man släpper gungbrädan.

Ok. Men man använder jämviktsförhållandena G = H och F = 2G trots att det inte längre är jämvikt.

Juniverse skrev:
Ok. Men man använder jämviktsförhållandena G = H och F = 2G trots att det inte längre är jämvikt.

Var ser du det?

Här:

Kraft-och momentjämvikt för gungbrädan, enligt bilden alldeles under bild 2. Det är alltså den undre delen av bilden du skall titta på för att se detta. Detta är alltså "innan accelerationen har hunnit verka".

Absolut, men jag förstår inte hur man kan anta att vissa jämviktsförhållanden fortfarande gäller (G = H och F = 2G) men inte andra (G = Mg).

På den undre delen av bilden har man frilagt bara själva gungbrädan. Den skulle vara i balans, även om man släpper den (om inte barnen hade suttit på, alltså).

Men den övre delen och den undre delen hör ju ihop och visar på krafterna i jämvikt. Och vid jämvikt är G = Mg.

Om det är så att G är Mg vid jämvikt men inte då obalans kan man väl inte heller säga att G = H och F = 2G gäller vid obalans?

Det råder inte jämvikt i friläggningen (möjligtvis dynamisk jämvikt isf). Det är GUNGBRÄDAN som kan anses vara i jämvikt

H och G är normalkrafter mot Plankan. Plankan står inte still. Alltså är INTE G=Mg.

H ska inte bara bära upp personen, kraften H ska också accelerera den lättare personen uppåt med accelerationen a. $H=ma+mg$

G är inte lika stor som Mg, en del tyngdkraften är upptagen med att accelerera den tyngre personen nedåt med accelerationen a. $G=Mg-Ma$

$m a = H - m g = \frac{F}{2} - m g M a = M g - G = M g - \frac{F}{2} a = \frac{F}{2 m} - g = g - \frac{F}{2 M} \frac{F}{2 m} + \frac{F}{2 M} = 2 g \frac{F 2 M}{4 m M} + \frac{2 m F}{4 m M} = 2 g 2 M F + 2 m F = 8 m M g F (m + M) = 4 m M g F = \frac{4 m M g}{m + M}$

Tack så mycket för hjälpen!

Förresten varför definieras kraften ma uppåt som positiv, medan Ma nedåt som positiv? Borde inte de ha samma riktning definierad som positiv. Annars kan man väl inte utföra beräkningarna i lösningen där man kombinerar ma och MA för att komma fram till vad kraften är?

Dualitetsförhållandet skrev:
Förresten varför definieras kraften ma uppåt som positiv, medan Ma nedåt som positiv? Borde inte de ha samma riktning definierad som positiv. Annars kan man väl inte utföra beräkningarna i lösningen där man kombinerar ma och MA för att komma fram till vad kraften är?

Kraften ma är riktad uppåt eftersom den mindre personen kommer att röra sig uppåt när man släpper gungbrädan. Kraften ma definieras inte, den beräknas.

Kraften Ma är riktad neråt eftersom den tyngre personen kommer att röra sig neråt när man släpper gungbrädan. Kraften Ma definieras inte, den beräknas.

Om du läser texten så står det att "Den tyngre kroppens acceleration nedåt kommer att vara lika stor som den lättare kroppens acceleration uppårt... Vi kallar denna acceleration a."

Det hade varit tydligare (tycker jag) om man hade definierat EN riktning för accelerationen och skrivit att |Ma|=|ma| men av någon anledning har man inte gjort det.

Det som kopplar samman friläggningarna är att accelerationen uppåt för den vänstra personen är exakt lika stor fast med omvänt tecken (dvs nedåt) för den högra personen. Mer precist; om H rör sig sträckan $\bar{y}$ så måste G röra sig sträckan $-\bar{y}$ . Detta kallas ibland tvångsvillkor eller holonomiskt villkor.

Om vi konsekvent tillämpar "uppåt" som positiv referensriktning är det naturligt att låta $a$ vara positiv i den högra friläggningen och ha motsatt riktning i den vänstra. Notera också vilket tecken g får.

$\begin{matrix}H-mg&=&ma\\G-Mg&=&-Ma\end{matrix}$

Om vi konsekvent tillämpar "nedåt" som positiv referensriktning är det naturligt att låta $a$ vara positiv i den vänstra friläggningen och ha motsatt riktning i den högra. Notera återigen tecknet på g

$\begin{matrix}-H+mg&=&-ma\\Mg-G&=&Ma\end{matrix}$

Det viktiga är att man får rätt förhållande mellan a och g i varje enskild ekvation samt att man följer eventuella tvångsvillkor, i det här fallet sambandet för accelerationerna (som är lika stora men har motsatt riktning).

Är det fel att tänka att accelerationen egentligen är vinkelrät mot rörelseriktningen enligt min bild nedan?

Jag är fortfarande inte med på hur man kan säga att G = H och F = 2G när gungbrädan är i rörelse, vilket görs i och med att G och H ersätts med F/2 i lösningen?

Läs uppgiften:

"Hur stor är kraften på gungbrädan från upphängningsanordningen alldeles efter det att förälden släppt taget?"

Det betyder innan gungbrädan har hunnit böja röra sig.

Ok.

Tack för att jag fick parasitera på din fråga Dualitetsförhållandet. :)

Och tack för förklaringar.

Juniverse, du parasiterade inte. Du hjälpte mig förstå uppgiften bättre, så det är jag som ska tacka :).

Tvivlar man på fysiken bakom förenklingen "momentjämvikt för gungbrädan alldeles efter det att föräldern släppt taget" kan man tänka så här

Två massor $m$ och $M$ som sitter på ändarna av en masslös stav av längden $2r$ roterar kring sin mittpunkt med rörelsemängdsmomentet $L=I\dot{\theta}$ , där $I=mr^2+Mr^2$

$\tau=\frac{dL}{dt}$

I ögonblicket då föräldern precis släpper greppet är gungbrädan vågrät och tyngdkrafterna verkar vertikalt med hävarmarna $r$ , dvs $\tau=Mgr-mgr$ . Ur sambanden får vi

$\ddot{\theta}=\frac{\tau}{I}=\frac{(M-m)gr}{(M+m)r^2}$

I polära koordinater är accelerationen $\mathbf{a}=\hat{\mathbf{r}}(\ddot r -r\dot{\theta}^2)+\hat{\mathbf{\theta}}(2\dot r \dot \theta+r\ddot \theta)$

Eftersom föräldern precis släppt taget är vinkelhastigheten $\dot \theta=0$ . Vidare är det radiella avståndet fixerat för varje massa så $\ddot r = \dot r = 0$ . Kvar för Newton II blir

$mr\ddot \theta \mathbf{\hat{\theta}}=\mathbf{H}-mg\mathbf{\hat{\theta}}$

$Mr\ddot \theta \mathbf{\hat{\theta}}=\mathbf{G}+Mg\mathbf{\hat{\theta}}$

Löser man ut G och H ser man att de blir lika till storlek och riktning $\mathbf{G}=\mathbf{H}=\frac{2mMg}{M+m}\hat{y}$

Slutligen ges kraften från upphängningsanordningen av G+H.

Tack för mer förklaring Jroth. Jag får erkänna att ditt sista inlägg inte är glasklart för mig, men jag accepterar att det är så.